化归思想在数学解题中的应用

广东省湛江一中培才学校(524000)

刘倩倩●

化归思想在数学解题中的应用

广东省湛江一中培才学校(524000)

刘倩倩●

通常在处理和解决数学问题时，总的指导思想就是把问题转化为能够解决的问题，这就是化归思想.化归思想方法是数学研究问题的一种基本思想方法.本文将通过几道例题，具体说明化归思想在数学解题中的应用.

化归思想；数学；应用

教学思想方法是基于数学知识，又高于教学知识的一种隐形教学知识，回顾我们处理数学问题的过程和经验会发现，我们常常将待解决的陌生问题通过转化，归结为一个比教熟悉的问题来解决，这就是化归[1].

在数学解题过程中，若能有效运用化归思想，将使复杂问题得以简化，降低解题难度.下面将举例说明化归在解题中的具体应用.

一、引入未知量，转化为方程求解

例1 鸡兔同笼，共有头30个，足86只，求鸡兔各有多少只.

这是关于鸡兔同笼的问题，它还有很多同类型变式，比如：在一个停车场上，停了汽车和摩托车一共32辆.其中汽车有4个轮子，摩托车有3个轮子，总共有108个轮子，问汽车和摩托车各多少辆等等诸如此类的应用题.

这类问题是小学中常出现的问题，也是小学生较难理解的问题之一.教师要想对小学生讲解清楚，也颇为复杂.但如果稍稍引入未知量，设鸡x只，用(30-x)表示兔容易理解多了.根据题意列出方程组，将原命题转化为方程组求解，会让问题变得非常简单.

二、巧设编码，将问题转化为符号

例2 有200名同学到礼堂开会，礼堂前的台阶共8阶，这些同学每次迈1阶或2阶.走完这段台阶，至少有多少同学迈的情况完全相同？

初看此题，学生会觉得很复杂，以致无从下手，即使有的同学能想到是排列组合问题，却也苦于没有组合模型.这时，就需要启用化归思想了，将其转化为我们所熟悉的事物或模型了，从题中可分析：“每次迈1阶或则迈2阶”，那么迈2阶时则必有1阶是踏空的，不难想到，这与计算机的编码是类似的，于是，我们可将其符号化为：记踏着的台阶为1，否则为0；如：某同学每次迈2阶，则记为：01010101.那么，问题就转化为学生熟悉的排列组合模型了.

可见，引入符号化，有效利用化归思想，将大大降低问题的难度，同时有助于学生理解与记忆，为后续高等数学的教学打下基础.

三、引入函数表达，巧解不等式

例3 解不等式：x3-6x2+3x+10>0.

关于不等式，初等数学中的解题方法大多是移项或分解等，而常规方法对于此题却比较麻烦，如果引入函数表达式，令y1=x3，y2=6x2-3x-10，则将此题转化为求y1>y2的x取值范围，问题便好解了.

当然，关于引入函数表达式的妙用，在解函数应用题时将能更好的凸显出来.这里就不再另外举例了.

四、构造已知公式，简化证明题

例4 设x、y、z∈R，且x+y+z=1，求证x2+y2+z2≥1/3.

对于这种题型，通常难以直接入手，而如果对柯西不等式较为熟悉，那么就可以通过构造公式，将问题转化为柯西不等式的变式.

具体到该题，则由柯西不等式的推论：[(a1+a2+…+an)/n]2≤(a12+a22+…+an2) /n(当且仅当a1=a2=…=an时，等式成立)可知：

(x2+y2+z2)/3≥[(x+y+z)/3]2，因为x+y+z=1，所以(x2+y2+z2)/3≥1/9，化简即得原命题.

不仅在做证明题如此，在运算时更是如此.如等差数列、等比数列的公式等，就大大简便了相关运算.因此，如果熟知各类公式，对于解题是非常有帮助的.

五、通过语义转换，将复杂问题简单化

化归将复杂问题与简单问题有效转化，将初等数学与高等数学有机结合，透过表象透析本质，形成有价值的解题思路，从数学角度，它体现一种基本的数学思路，从教师角度它体现了一种有效的教学方法，从学生角度它培养了学生的解题能力和思维能力，有助于将初高等数学知识融会贯通、灵活运用.

教师在教学教学中应有意识地培养学生的化归思想，根据具体教学内容，通过渗透、介绍、强调等不同方式，让学生体验学习这一思想方法.同时，教师还需要不断提高自我水平.只有自己融会贯通各种数学思想方法，才能言简意赅地传授给学生，帮助学生打开数学思维殿堂的大门.

[1] 钱佩玲，邵光华.数学思想方法与中学数学[M].北京：北京师范大学出版社，1999.

[2]任文龙,王奇,李慧.高观点下的初等数学不等式[J].甘肃联合大学学报(自然科学版),2008(5)：51-52.

[3]张奠宙，邹一心.现代数学与中学数学[M].上海：上海教育出版社,1990.

[4]李莉，李永杰.中学代数研究与教学[M].郑州：郑州大学出版社，2007.

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