特殊数列的求和方法

2017-06-15山东省东营市胜利第一中学257027

数理化解题研究 2017年1期

关键词：东营市通项山东省

山东省东营市胜利第一中学(257027)

丁孝恒●

特殊数列的求和方法

山东省东营市胜利第一中学(257027)

丁孝恒●

我们已经知道等差数列和等比数列的求和方法，但是我们碰到的很多数列不是常规的等差数列或等比数列，这些数列的求和有时比较麻烦.但是我们只要抓住数列的特点，找出规律就可以比较容易地求出数列的和.本文主要针对一些特殊数列如方幂数列、阶差数列和循环数列的求和方法进行总结.

数列求和；方幂数列；阶差数列；循环数列

数列是高中数学中的重要内容之一，而数列求和是数列的基本运算之一，下面主要针对一些特殊数列如方幂数列、阶差数列和循环数列的求和方法进行总结.

1.方幂数列

我们把形式如12,22,32,…,n2,…的数列称为自然数的方幂数列.对于这种形式的数列，我们通常采用分组转化法.也就是把数列的每一项拆分成两项或者多项，或者把数列的项重新组合，或者把整个数列分成两部分等等，使其转化成等差数列或者等比数列等可求和的数列分别进行求和.

例1 求数列12,22,32,…,n2,…的前n项和.

解我们首先假设设Sn=12+22+32+…+n2，因为(k+1)3=k3+3k2+3k+1，所以(k+1)3-k3=3k2+3k+1.用1,2,3,…,n分别代替上面的k，于是得到

23-13=3×12+3×1+1,33-23=3×22+3×2+1,43-33=3×32+3×3+1,…,(n+1)3-n3=3×n2+3n+3n+1.将上面各式等号两边分别相加，于是可以得到

2.阶差数列

我们先给出阶差数列的概念：设有数列{an}，将这个数列相邻两项的差作为一个新的数列{an+1-an}，那这个新的数列{an+1-an}就称为原数列{an}的第一阶差数列，记为{bn}.数列{bn}的阶差数列{bn+1-bn}，称为数列{an}的第二阶差数列，依次类推.有些数列的构成规律不十分明显可以依次求出它的各阶差数列.如果某一阶差数列正好是等差或等比数列，那么可以利用这些数列的有限和，得出原数列的一个通项公式.

例2 求数列1,3,7,13,21，…的通项公式an以及前n项和Sn.

解这个数列不是等差数列，但是相邻两项的差依次为2，4，6，8，10，…是一个等差数列，这个等差数列的通项是bn=2n.

设原始数列为{an}，则

a2-a1=2,a3-a2=4,a4-a3=6,…,an-1-an-2=2(n-2),an-an-1=2(n-1).把以上n-1个式子相加，可以得到an-a1=2+4+6+…+2(n-1)=n2-n

因为a1=1，所以an=n2-n+1.由上面可以得到