向量的极化公式在解题中的应用

福建省龙海第一中学新校区(363100)

苏艺伟●

向量的极化公式在解题中的应用

福建省龙海第一中学新校区(363100)

苏艺伟●

向量是高中数学一个非常重要的内容,它集数与形于一身,既有代数的抽象性,又有几何的直观性,是形象思维与抽象思维的有机结合.近几年来,在新课程的引领下,各省市高考试题涌现了一些以向量为背景的好题,有些省市甚至是以向量为突破口来实现高考试题命制的创新.它们以向量的线性运算以及数量积运算为载体,综合考查学生的运算求解能力,推理论证能力,以此做为压轴试题来提高考生的区分度.

基于上述原因,除了掌握向量的基本运算之外,还有必要掌握向量中一些常见的解题方法,比如向量的极化恒等式(平面向量的积化和差公式).本文介绍向量的极化恒等式及其相关应用.

进一步,如果将该公式运用在三角形中,则如图(1)所示,△ABC中,

该公式将向量的数量积与和中点相关的线段联系起来,在解决一些向量试题时能更多地从几何的角度分析,大大减少计算量,凸出体现了多思少算,彰显思维品质.

例1 2013年浙江高考理科

A．∠ABC=90° B．∠BAC=90°

C．AB=ACD．AC=BC

评析 该题新颖别致,独具匠心,是一道以数量积为载体的恒成立问题,最终转化为考查判断三角形的形状.观察到△PBC和△P0BC始终有公共边BC,因此利用向量的极化公式可以轻松求解.

评析 该题以三角形为载体考查向量的相关运算,观察到题目条件“D是BC的中点”,容易联想到向量的极化公式.

解析 设BD=DC=m,AE=EF=FD=n,则AD=3n.

根据向量的极化公式,有

评析 该题延续2013年的命题风格,试题简短却内涵丰富.它仍然是以数量积为载体的恒成立问题,将向量与不等式,求最值结合在一起,要求考生具备较强的逻辑思维能力,推理论证能力,真正起到了压轴的作用.考生需要在脑海中搜索最本源的知识,综合运用所学方能求解.

评析 该题面目温和,平易近人,入口宽,可以有不同的思考方式,如坐标法,基底法等等.本文利用向量的极化公式求解,别有一番风味.

解析 如图5所示,取AB中点E,连接EP交AD于F.

根据向量的极化公式有

纵观以上解题过程,可以发现向量的极化公式确实在解决向量的某些压轴试题中起到了不可替代的重要作用.实际上,向量的极化公式是向量回路法的一种特殊情况,也是利用了向量的几何属性,将复杂问题转化为简单的平面几何问题.

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