问渠那得清如许为有源头活水来——由课本例题探究有心圆锥曲线的性质及其应用

浙江省杭州市富阳区新登中学(311404)

陈国清●

问渠那得清如许为有源头活水来
——由课本例题探究有心圆锥曲线的性质及其应用

浙江省杭州市富阳区新登中学(311404)

陈国清●

一、例题展现

图1

人教A版数学选修2-1第41页例3

二、引申探究

探究1 斜率之积为常数的点的轨迹及常数与离心率的关系

探究 设动点P(x,y)，两定点A1(-a,0)、A2(a,0)，直线PA1、PA2的斜率之积k1·k2=t，求点P的轨迹，并探究t与离心率e之间的关系．

1°若t=0，方程为y=0(x≠±a)，点P的轨迹为x轴(不包括A1、A2)．

1若t>0，点P的轨迹是以A1A2为实轴的双曲线(不包括A1、A2)；

②若-1

③若t=-1，点P的轨迹是以A1A2为直径的圆(不包括A1、A2)；

∵圆的离心率e=0，∴t=e2-1．

④若t<-1，点P的轨迹是以A1A2为短轴的椭圆(不包括A1、A2)；

因此，平面内与两定点连线的斜率之积为常数t的点的轨迹不一定是椭圆，但当t≠0时，它们同为有心圆锥曲线．

结论1 当t=-1时为圆；当t<0且t≠-1时为椭圆；当t>0时为双曲线．

探究2 圆的性质推广到其他有心圆锥曲线

圆具有以下性质：

(1) 如图2，过圆心的直线l与圆交于A、B两点，P为圆上不同于A、B的任意一点，则PA⊥PB,即kPA·kPB=-1；

(2)如图3，经过弦中点的半径OP与弦AB垂直，即kAB·kOP=-1；

(3)如图4，过圆上任一点P引切线l，则OP⊥l，即kOP·kl=-1．

探究 椭圆、双曲线与圆同为有心圆锥曲线，是否具备类似性质？下面以焦点在x轴上的椭圆为例探究．

证明 设P(x0,y0)，A(x1,y1)，B(-x1,-y1)，∵点A、P在椭圆C上，

证明 设P(x0,y0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

以上是焦点在x轴上的有心圆锥曲线，焦点在y轴上的有心圆锥曲线与此相似，不过此时结论为斜率倒数之积等于e2-1．

三、高考应用

证明 设P(x1,y1)，B(x2,y2)，则A(-x1,-y1)，C(x1,0)．

∴kPA·kPB=2kAB·kPB=-1，故PA⊥PB.

点评 此题考查斜率的求法，以及直线与椭圆的位置关系，体现了方程思想和数形结合思想，难度较大．但如果了解了有心圆锥曲线的性质，题目便变得迎刃而解．

已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标．

∵点P在第一象限，且k<0，

点评 此题如果联立方程利用Δ=0当然也可以做，但是计算量很大，用时较长；而利用椭圆性质，则简直可以秒杀．对于分秒必争的高考而言，哪种方法更好不言而喻．

四、总结启迪

通过课本例题探究有心圆锥曲线的性质，并利用性质解决高考题，我们可以从中得到以下启示：

1.对于一个数学问题，我们不仅要引导学生去探究方法的巧思妙解，更要引导学生探讨问题所蕴含的的数学本质，让题目会“说话”．例题课堂教学中不断变换角度，尽量发挥例题的辐射作用，是激活学生数学思维的一种重要途径．对例题进行引申探究，以期构建动态生成，继而挖掘其潜在的智能训练因素：或启迪思路，提炼方法；或引申问题，丰富内涵；或串联知识，扩大成果，从而彰显我们的数学智慧．

2.课本是最重要的教学资源，课本中的例、习题是编者依据课程标准精心挑选且具有代表性的问题，是问题中的精华，也颇受高考命题专家的青睐，所以说教材是高考命题的源头．面对高考，我们不仅要研究考试说明，更要重视教材，深入研究教材，挖掘题根，彻底了解问题的本质,这样才能以不变应万变，在高考中做到问渠那得清如许，为有源头活水来．

[1]苏立标. 落霞与孤鹜齐飞 秋水共长天一色——2012浙江高考解析几何试题的本源探讨[J].中学数学(上)，2012(9).

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