用“分离函数法”求参数取值范围

广东省惠州市华罗庚中学(516000)

王健发●

用“分离函数法”求参数取值范围

广东省惠州市华罗庚中学(516000)

王健发●

本文从参变分离、分离一次函数、分离二次函数、分离指数函数、分离对数函数五种角度来求参数取值范围.

一、参变分离

评注 分离参数, 利用“a≥f(x)在x∈D上恒成立, 则a≥[f(x)]max(x∈D);a≤f(x)在x∈D上恒成立, 则a≤[f(x)]min(x∈D)”.

二、分离一次函数

例2 已知函数f(x)=ex-kx,k∈R, 其中e为自然对数的底数. 若k>0, 且对于任意的x∈R,f(|x|)>0恒成立, 试确定实数k的取值范围.

解 因为函数y=f(|x|)为偶函数, 所以对于任意的x∈R,f(|x|)>0恒成立等价于f(x)>0对任意的x≥0恒成立, 即曲线y=ex位于直线y=kx的上方.

由导数法可知, 曲线y=ex过点O(0,0)的切线方程为y=ex, 所以k0, 得实数k的取值范围为(0,e).

评注 分离一次函数, 转化为过定点的直线与曲线相切, 利用导数求出切线的斜率, 从而达到求参数取值范围.

三、分离二次函数

例3 已知函数f(x)=ex-1-x-ax2.

(2)当x>0时,f(x)≥0恒成立等价于ax2≤ex-1-x在区间(0,+∞)恒成立.

令y1=ax2,y2=ex-1-x, 即当x>0时, 函数y2=ex-1-x的图形恒在y=ax2的图形及上方.

因为当x>0时,y2′=ex-1>0, 所以函数y2=ex-1-x在(0,+∞)单调递增.

评注 通过分离二次函数, 考虑为二次函数的图形与另一函数图象的位置关系, 再利用数形结合求参数的取值范围.

四、分离对数函数

设h(x)=x2+(2-4a)x+1,Δ=(2-4)a2-4=16a(a-1).

(1)若a∈(0,1], 则Δ≤0,h(x)≥0,g′(x)≥0,所以g(x)在(0,1)内单调递增, 又g(1)=0, 所以g(x)

(2)若a∈(1,+∞), 则Δ>0,h(0)=1>0,h(1)=4(1-a)<0, 所以存在x0∈(0,1),使得h(x0)=0, 对任意x∈(x0,1),h(x)<0,g′(x)<0. 则g(x)在(x0,1)内单调递减, 又g(1)=0, 所以当x∈(x0,1),g(x)>0, 不合要求.

综合(1)(2)可知a的取值范围是(0,1].

五、分离指数函数

例5 已知方程xex=x+2在区间[k,k+1]上有解, 求整数k的值.

评注 对于指数函数、对数函数等比较复杂的函数与一次函数、二次函数的积或商，有些通过分离参数之后，因为求导运算的复杂性将很难达到求参数取值范围的目的，而通过将lnx和ex分离出来，简化导数运算从而达到问题求解.

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1008-0333(2017)01-0007-01