向量背景下的最值问题举隅

安徽省宿州市埇桥区祁县中学(234115)

张 刚●

向量背景下的最值问题举隅

安徽省宿州市埇桥区祁县中学(234115)

张 刚●

向量是高中数学中非常重要的内容，也是高考的必考考点.它是沟通代数、几何、函数、不等式等各部分数学知识的一种工具.而以向量为背景的最值问题，因题型灵活、多变，知识点考查多，在历年各地高考题、模拟题中屡见不鲜.如果能够恰当灵活地选择方法，就能达到化难为易，优化解题过程，提高解题效率的目的.本文结合几道实例，抛砖引玉如下，供大家参考.

1.构造线性规划求最值

令y-x=t,显而易见，当直线y=x+t过点B(2,3)时，t取得最大值1，故m-n的最大值为1.

评注 对此类问题，一般思路是：设出动点坐标，利用向量的相关知识将参数用动点坐标表示出来，写出目标函数，化为简单的线性规划中的最值问题求解.

2.构造可行域，利用几何图形关系求最值

评注 目标函数最终由动点P的坐标表示的，那么点P的活动范围也就是可行域，就是条件中的几何图形及其内部区域.

3.构造一元目标函数求最值

评注 将数量积的运算转化为求一元二次函数的最值，用配方法获解.

4.构造多元目标函数求最值

评注 对与向量运算有关的多元参数的最值问题，常通过向量运算转化为多元函数的最值问题，再利用消元、换元等手段转化为一元函数的最值问题，或多次利用基本不等式或用柯西不等式求其最值，其中多次利用基本不等式求最值时，注意“一正二定三等”的原则.

5.构造代数坐标法求最值

评注 本题有向量垂直的明显信息，易建立平面直角坐标系，将平面向量数量积的最值问题，转化为一元对勾函数的最值问题，巧用均值不等式获解.

6.构造三角坐标法求最值

例6 (2015 上海卷)已知平面向量a,b,c满足a⊥b且{|a|,|b|,|c|}={1,2,3},则|a+b+c|的最大值是____.

解 因为a⊥b，{|a|,|b|,|c|}={1,2,3},

7.构造-|a||b|≤a·b≤|a||b|求最值

例7 (2012 安徽卷)若平面向量a,b满足：|2a-b|≤3,则a·b的最小值是____.

评注 由定义a·b=|a||b|cos〈a,b〉可得|a·b|≤|a||b|,即-|a||b|≤a·b≤|a||b|,a·b≤|a|·|b|即为对a·b放大，-|a|·|b|≤a·b,即为对a·b缩小.

8.构造||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|求最值

例8 已知平面向量a,b,c满足|a|=1,|b|=2,|c|=2,|a+b|=|a-b|, 则|a+b+c|的最大值是____.

评注 对于|a+b|的最值问题，常利用三角不等式的向量形式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|求最值.

9.构造模长为轨迹是圆问题求最值

例9 已知a,b是单位向量，a·b=0，若向量c满足|c-a-b|=1，则|c|的取值范围是____.

评注 在同一平面内，圆是到定点距离等于定长的点的集合，也是相对弦的张角为定角的点的集合.

总之，只要善于巧妙地利用题目的已知条件，结合向量的相关知识，运用构造思想，将向量的最值问题转化为线性规划、函数、不等式、圆等数学最值问题，即可迎刃而解，达到化难为易，优化数学问题的目的.

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1008-0333(2017)01-0003-02