用轨迹法探求存在性问题*

●张向武 (安阳实验中学 浙江瑞安 325200)



用轨迹法探求存在性问题*

●张向武 (安阳实验中学 浙江瑞安 325200)

随着课改的推进以及教材的修改，点的轨迹内容似乎淡出了初中数学课，但近几年的中考数学压轴题往往都是由动点引发的存在性问题.其实在学生刚学习几何图形时已经知道点动成线、线动成面、面动成体，因此初中阶段不仅要关注培养学生的方程思想，更应培养学生的动点轨迹意识．

轨迹思想；存在性问题；动点

随着课改的推进以及教材的修改，点的轨迹内容似乎淡出了初中数学课，不过在高中阶段的学习中，轨迹思想有着较为重要的作用[1].近几年的中考数学压轴题往往都是由动点引发的存在性问题，它不仅能较综合地考查学生的基础知识、基本技能，更是对学生数学思维能力的一种挑战．学生碰到这类题时如果不得其法，往往会知难而退．面对这样的问题，笔者在教学过程中也常常思考：怎么样才能让学生更好地运用所学知识？不能因为图形在动就不知所措，从而忽略了问题的本质．其实学生刚学习几何图形时已经知道点动成线、线动成面、面动成体，因此笔者认为初中阶段不仅要培养学生的方程思想，更应培养学生的动点轨迹意识.本文主要谈谈如何用轨迹法探求存在性问题，希望对广大师生有所帮助．

1 介绍几种常见的点的轨迹

图1 图2

图3 图4 图5

1)到2个定点距离相等的点(如图1：中垂线)；

2)到一个角的2边距离相等的点(如图2：角平分线)；

3)到一定直线距离等于定长的点(如图3：2条平行线)；

4)到一定点距离等于定长的点(如图4：圆)；

5)与2个定点连线的夹角为定值的点(如图5：2条等弧).

2 轨迹法应用举例

2.1 图形存在性问题

图6

例1 如图6，抛物线y=x2-2x-3交x轴于点A，B，交y轴于点C，顶点为D，且点M为对称轴上的一个动点.

1)当△MBD为等腰三角形时，求点M的坐标；

2)当△MAC为直角三角形时，求点M的坐标；

4)当60°≤∠AMB≤90°时，求点M纵坐标的取值范围.

分析 第1)小题考查的是等腰三角形的存在性问题，其中点B，D为2个定点，动点M原有的轨迹是抛物线的对称轴，而要使△MBD为等腰三角形，则需分类讨论如下：当MB=MD时，其轨迹为BD的中垂线；当BD=BM或BD=DM时，其轨迹分别为以点B,D为圆心、BD为半径的圆．综上所述，所有符合要求的点M的轨迹是两圆一线和原有轨迹抛物线对称轴的交点(即图7中的点M1,M2,M3,M4)．

图7 图8

第2)小题考查的是直角三角形的存在性问题，其中点A，C为定点，动点M原有的轨迹是抛物线的对称轴，而要使△MAC为直角三角形，需分类讨论如下：当∠AMC=90°时，其轨迹是以AC为直径的圆；当∠MAC=90°或∠MCA=90°时，其轨迹分别为过点A,C且垂直于AC的直线．综上所述，所有符合要求的点M的轨迹是两线一圆和原有轨迹抛物线对称轴的交点(即图8中的点M1,M2,M3,M4)．

第3)小题是附加面积关系的图形存在性问题，其中AB的长度为定值，动点M原有的轨迹是抛物线的对称轴，而要使△MAB的面积为定值，需满足点M到AB的距离为定值，其轨迹为2条平行线，所有符合要求的点M的轨迹是2条平行线和原有轨迹抛物线对称轴的交点(即图9中的点M1,M2,M3,M4)．

图9 图10

第4)小题是附加特定角的数量关系的图形存在性问题，其中A，B为定点，动点M原有的轨迹是抛物线的对称轴，而要使60°≤∠AMB≤90°，需找到满足M到定点A,B连线的夹角为60°和90°的状态点，其轨迹分别为2条圆弧，符合要求的点M的轨迹是4条圆弧和原有轨迹抛物线对称轴的交点(即图10中的点M1,M2,M3,M4)，因此M1M2和M3M4就是点M的运动范围．

2.2 最值存在性问题

例2 如图11，在矩形ABCD中，AB=4，AD=8，E为AD的中点，点P，Q分别是射线AB，BC上的动点，且AP=BQ，线段AQ，EP交于点G，联结CG，则CG的最小值为______.

图11 图12

分析 本题是关于动点G到定点C的距离最值问题.首先考虑动点G的运动轨迹是直线还是曲线.分析已知条件可得△ABQ≌△EAP,进一步得到AQ⊥EP；然后运用轨迹思想把问题转化为点G到定点A,E连线的夹角为90°的轨迹上的点和定点C之间距离的最值问题，如图12，当圆心O和点G,C共线时，CG取最小值．

3 中考链接

例3 如图13，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C(0，3)．

1)求抛物线的解析式.

2)若点M是抛物线在轴下方上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值.

3)在第2)小题的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

(2016年福建省漳州市数学中考试题第24题)

图13 图14

分析 本题的第3)小题同例1第1)小题，通过轨迹法判断满足△PBN是等腰三角形的点P的轨迹是两圆一线(如图14)，与对称轴的交点分别为P1，P2，P3，P4，P5.

1)求反比例函数的关系式和点B的坐标.

2)如图16，过BC的中点D作DP∥x轴，交反比例函数图像于点P，联结AP，OP.

图15 图16

①求△AOP的面积；

(2016年山东省济南市数学中考试题第26题)

图17

图18 图19

例5 如图18，在平面直角坐标系中，一次函数y=x与二次函数y=x2+bx的图像相交于点O，A，点A(3，3)，点M为抛物线的顶点.

1)求二次函数的表达式.

3)问：直线OA上是否存在点E，使得点E关于直线MA的对称点F满足S△AOF=S△AOM？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

(2016年江苏省常州市数学中考试题第27题)

图20 图21

例6 如图20，菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，P是AB上一点，BP=3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A′的对应点为A.当CA′的长度最小时，CQ的长为

( )

(2016年湖北省鄂州市数学中考试题第10题)

分析 本题同例2，通过轨迹法把问题转化为定点C到以点P为圆心、PA为半径的轨迹⊙P上的动点A′之间的最值问题.如图21，当圆心P和点A′，C共线时，CA′取最小值.故选B.

4 小结

解题是数学学习的一个核心内容和一种最基本的活动形式[2]，通过解题活动才能让学生对数学思想方法有所领悟，然后又可以运用其解决一类数学问题．本文列举的动点存在性问题常常由主动点引起随动点，它们相互之间会存在某种依赖关系，从而引起线动和形动，但归根结底是因为点动.如果能注意并弄清关键点的运动轨迹，运用轨迹思想就能准确地化动为静，找到运动中的不变量，最后综合运用数学的相关知识有效解题．

[1] 张克玉．运用轨迹思想 巧解有关问题[J]．中学数学教学(数学)，2015(6)：37-39.

[2] 罗增儒．解题教学引论[M]．西安：陕西师范大学出版社，2001.

2017-02-19；

2017-03-21

张向武(1976-)，男，浙江瑞安人，中学高级教师．研究方向：数学教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)06-38-03