从求导到不定积分的解法

孟湘皓

摘 要：积分是求导的逆运算，而求不定积分的过程可以理解为已知一个导函数，去求它的一个原函数的过程。然而，当面对一道积分运算题时，我们常常会感到无从下手。本文简单地介绍了四种不定积分的解法以及一些解题的注意事项。

关键词：不定积分 解法

一、不定积分

积分是求导的逆运算，而求不定积分的过程可以理解为已知一个导函数，去求它的原函数的过程。这里的原函数只要存在一个，就一定存在着无数个，这是由于常数的导数为0，加减一个常数对函数的导数不造成影响，因此我们称这样的积分为不定积分。

虽然积分与求导是逆运算的关系，但是求导相对来说要容易得多，无论是多复杂的式子，我们都能按照求导的法则来进行计算。然而碰到复杂的积分时，我们却常常无从下手。就跟很多事物一样，正过程容易，逆过程就很难。

二、不定积分的解法

虽然不定积分的计算相对来说比较有难度，但是一般来说，有四种方法能够解决不定积分的计算。

1.直接公式法

不定积分的直接公式法与求导的直接公式法相对应，这种方法解决的是最基本的积分问题。这里我们将给出基本积分表中的一部分，由于加减一个常数，对于导数运算来说没有影响，因此不定积分的计算后都会有一项C，这里的C为常数。

2.第一类换元法

不定积分中的换元法是根据求导法则中的复合函数求导法则衍生而来的。首先我们来看一下复合函数的求导法则，，运用微分的方式来看就是

而在不定积分中，由于，因而我们可以得到的结论，我们由此得到了第一类换元法的公式：

总结而言，第一类换元法就是先找到积分式中比较复杂、不好处理的f（x），令u=f（x），通过观察对dx进行配凑，使dx·配凑项=du，同时使d前的积分式能写成易于求积分的f（u）的形式，求出u来再代回x。

3.第二类换元法

第二类换元法与第一类换元法的区别在于，第一类换元法运用x的函数u（x）来进行换元变换，而第二类换元法是将x视为t的函数x（t）来进行换元变换，由此我们得到了第二类换元法的公式：

直观地从公式来看，我们会认为第二类换元法运用起来比第一类换元法容易，但是从应用上来讲，第二类换元法主要应用于含有根式的不定积分。

下面我们将通过实例來对两类换元法进行讲解区分。

针对于我们能发现我们不能直接运用公式法将其计算出来，这个题目有多种解法，首先，我们可以通过三角变换，将原式变形，然后再通过换元u=2x便能得到结果，

其次，我们可以通过观察发现，在被积式中，sinx与cosx存在着一定的关系，即sinx与cosx有原函数与导函数之间的关系，因而我们可以通过换元u=sinx进行变换或者v=cosx进行变换，进而得到结果，

这三种解法都用到的是第一类换元法，得到的结果乍一看不相同，但是进行三角变换以及加上一个常数之后，三个解是一样的。在这个不定积分中，运用第二类换元法就会使得整个积分式更为复杂，不如使用第一类换元法来得方便。

而在根式不定积分中，我们就会发现第二类换元法更为实用便捷。例如在不定积分中，我们就很难想象第一类换元法该令u为什么，但是在第二类换元法中，我们就可以令，运用t积分，最后再用代入得到结果，

不同的题，可以选择不同的三角代换，若是根号下，自然用x=asint进行求解。而若是根号下，则通过联想，设x=atanx。掌握了这种方法，根式中含的题目便可迎刃而解了。

4.分部积分法

分部积分法来源于求导法则中的：

，对此式进行积分就有，故而可以得到分部积分的公式：。换言之，就是。

分部积分法能够解决很多不能由以上其他三种积分法所解决的问题。

例如在积分式中，我们无法找到第一类换元法中的u（x），也无法找到第二类换元法中的x（t）。但是，我们可以巧妙地运用分部积分法，解决此类积分问题，在分部积分中，我们令，就能够得到，

分部积分法是建立在公式法和换元法之上的，往往一道复杂一点的积分题是需要先用分部积分法然后再用换元法才能解决。

结语

不定积分的基本解法共四种，从基本的公式法到复杂的换元法和分部积分法，都与导数中的求导法则息息相关。由于积分是求导的逆运算，相对来说，积分比求导要复杂得多，但是，正所谓触类旁通，只要掌握了本质，这些问题都能够游刃有余地得到解决。

参考文献

[1] 伍胜健.《数学分析》（第一册）. 北京大学出版社，2009：241-259.

[2] 郭鹏云等. 不定积分解法研究[J]. 大学数学， 2012， 28（3）：149-153.