高中辅助角公式的教学

李兴波

摘 要：辅助角公式是对高中数学三角函数、三角恒等变换章节的一个拓展和延伸，新课标高中数学必修4中以习题的形式出现，并未单独作为教材章节，以致于教师在教学中通常直接给出公式，学生记忆时常混淆或不知道怎么来的。本文试图通过自然的推導来阐释教材编写者的意图。

关键词：探析 辅助角公式 推导 教学

一、教材中隐藏的辅助角公式模型

1. 辅助角公式在教材中的出现

《高中数学必修4人教A版》教材P132练习第6题以化简的形式出现，使得形如（是明确给出的实数）的4个式子都能化简成一个角的三角函数形式，继而教材在P144习题3.2 B组第6题，提出：是否能用表示函数的最大值和最小值？其本质就是问：形如能否化为一个角的三角函数形式？下面引用教材中的P132练习第6题（2）式，稍作探讨。[1]

例1

化简：（1）；（2）

分析：在刚学习了两角和与差的正弦公式之后，观察（1）式的结构，注意到两个数值比较特殊，容易想到将，，从而拼凑成之和的正弦公式；再者，只需（2）式提个2倍出来便得（1）式，所以可做如下解答.

解：

（2）

可见， （1）、（2）式都可以化为一个角的三角函数形式.

那么，一般地，形如是否都可以化为一个角的三角函数形式呢？

二、形如可化为一个角的一个三角函数的形式的理论证明

思考辅助角公式在教材的位置，观察非常符合的结构，那么自然而然想到两个向量的数量积.推理如下：

证明：构造，则有：

，

（）

即 （为之间的夹角） （I）

由（I）式可得一定可以化成一个角的三角函数形式.考虑到三角变换。

则 （II）

说明：构造是考虑到可以利用单位圆的性质，先定再定。

三、确定的值（数形结合）

1.在平面直角坐标系中，设，如示意图1所示，点在单位圆上；则总有一个角且，它的终边经过点.依据必修4中P13右上角的小知识，可设，由三角函数的定义知：[2]

可令

所以

.（其中） （III）

此时对比（II）式可设 .

说明：（III）式与教材必修四P125—P125利用向量法推导两角差的余弦公式的过程非常符合。

2.在平面直角坐标系中，注意到点与到原点的距离相等.因此一定有一个角且的终边经过点，依据必修4中P13右上角的小知识，同样可设，由三角函数的定义知：

令

所以

.（其中） （IV）

此时对比（II）式可设 .

四、辅助角的范围

前面论述当中，首先设定了，主要是基于三角函数诱导公式的性质，这为我们的研究带来了便利.在中，通过示意图2可知点的位置决定了角所在的象限，的具体位置由和共同决定，并可由计算出值.

类似地，中，通过示意图1可知点的位置决定了角所在的象限，的具体位置由和共同决定，并可由计算出值.注意：通常.

五、一点实用技巧

实际使用中由于教材对正弦函数着墨较多，学生更喜欢或更习惯选择使用这种形式.但在计算过程中容易忽视的象限由确定，而直接套用计算出值，另外考虑到学生对特殊角三角函数值的记忆要求.可先对常数的正负进行处理，即将的系数调整成正值后再化简，因为确保的范围限制在区间上，而在该区间上是单调递增的，所以值可以唯一确定，方便运算和的取值。

结语

引入辅助角公式的主要目的是化简三角函数式.在实际中结果是化为正弦还是化为余弦要具体问题具体分析，有时也需结合两角和与差的正弦、余弦公式灵活应用.本文旨在说明推导辅助角公式的方式方法在教材中早有隐藏，而不是凭空而来.

参考文献

[1]人民教育出版社，数学4必修A版11-14，44，103-104，124-129，132，142-144.

[2]郑传根，辅助角公式教学应注意的的几个问题.