学生“认识角”的障碍调查与分析

◇陈春妮 侯光娥

学生“认识角”的障碍调查与分析

◇陈春妮 侯光娥

北师大版教材二年级下册“练习五”中的第4题（如图1），目的是借助点子图，帮助学生复习对角的大小的比较。

图1

当老师出示问题后，放手让学生自己独立完成，很多学生都在图中画出类似这样的角（如图2），并且他们一致认为画出的角比原题中的角小。

图2

原本老师预设的是学生会从这个角的顶点出发，在两条边之间再画一条射线得到一个新的更小的角，没想到学生根本不按常理出牌，关键是他们居然认为这两个角的大小不一样，画出的角比原题中的角小。

怎么办？执教老师与学生展开了讨论。

师：想一想，角的大小和什么有关？

生：角的大小与两边的张口有关。

生：两边的张口越大，角就越大。

生：我补充一下，角的大小与两边的长短无关。

师：请仔细观察图2中的两个角，想一想，这两个角的张口一样吗？

生：（有点儿犹豫）这两个角的张口好像是一样的，它们是一样大的。

……

这个现象引起了笔者的兴趣，通过研读教材笔者认为，这道题考查的是学生画角、比较角的大小的能力，全面考查学生对于角的认识情况。从课堂上学生的表现看，他们对角的认识还是有一定问题的。为什么他们会认为图2中的这两个角大小不同呢？学生心目中的角是什么样呢？

带着这些疑问，笔者通过分层抽样的方式，对已学完这一单元的二年级4个班的24个学生进行调查访谈，访谈题目如下：

1.你认识角吗？你能找到角吗？请指给我看看。

2.墙角里有角吗？如果有，有几个？（如果回答有，请学生到墙角比画、示意）

3.你吃过三明治吗？我从这里咬一口，是不是就咬掉了三明治的一个角？（出示两张图片：完整三明治和咬掉了一角的三明治）你有什么发现？（如果回答少了一个角，追问：这个角是不是我们学过的角）

4.你认为这两个角（如图3）哪个大些？为什么？你能画出其中大的部分吗？

图3

结合课堂上学生的表现及所调查学生的答题情况，笔者发现了两个问题：一是学生对生活中所说的角与平面上的角混淆不清，如三明治的角、桌角、羊角、凹进去的墙角等在学生心目中都是角；二是有的学生将角与面混为一谈。

角是一个面吗？关于这一点，笔者通过与同事交谈发现，他们都认为角既然是平面图形，那角就是一个面。笔者认为他们的这个推理是有逻辑错误的，构成图形的所有点都在一个平面内的图形是平面图形，很显然，角、线段都属于平面图形，但它们都不是一个面，角可以理解为刻画两条射线之间位置关系的一个量。这也正是学生认为角画出来的边长一些，这个角就大一些的根本原因。

对小学二年级的学生来说，所见即所得，学生看到的这两个角（如图3），其中一个角的边画得长一些，两边之间所夹的范围大，所以他们直观地认为这个角大。从这个角度来看，学生认为角的大小与画出来的边的长短有关，很大程度上是因为他们把角看成了一个面。

上述两个问题说明学生对于角没能建立正确的表象。

为什么会出现这些问题？结合对教材的分析及对老师、学生的访谈，笔者认为有以下原因。

1.忽视学生的已有认知，导致出现“鱼牛现象”。

“鱼牛现象”源自一个童话故事，大意是在一个小池塘里住着鱼和青蛙，它们听说外面的世界很精彩，都想出去看看。由于鱼不能离开水，青蛙独自出去了。青蛙告诉鱼外面牛的样子是身体很大，头上长着两个犄角，吃青草为生，长着四条粗壮的腿。鱼的脑海里即刻勾画出它心目中“牛”的形象：一个大大的鱼身子，头上长着两个犄角……

小学二年级的学生就如故事中的鱼，他们在生活中接触过各种各样的“角”，如墙角、桌角、牛角，而这些角与我们数学上所学的角是有一定差别的。教材提供剪刀、钟面、红领巾让学生抽象出角，教学时，教师往往都是通过出示这三幅图让学生找角，并通过课件从图中抽象出角，随后告知学生这就是角。这种教学方式看似利用了学生的已有认知，让学生在图中找到了角，但实际上方式单一、抽象，忽视了学生的学习困难。

那么，怎么处理才能帮助学生更好地建构“角”的概念呢？笔者认为在利用实物抽象出角之后，可以借助教材中的第一个问题“画一画”（如图4），让学生自由“画角”。虽然不是正式学习画角的技能，但在这个活动中，可以让他们初步体会角的组成，在一定程度上巩固对数学上角的认识。

图4

接着，教师还要引领学生对生活中接触到的这些“角”进行辨析，让学生知道此“角”非彼“角”，逐步澄清学生的认知，让学生对角有一个清晰、正确的认识。

2.未能合理使用教学素材，给学生造成认知上的偏差。

“角”是研究多边形很重要的一个要素，然而多边形中的角大多都是固定了边的长度的。在课堂教学中，老师们习惯运用固定角引导学生认识角，例如三角板、平面图、红领巾等。不可避免地，学生看到的角都是固定长度的边与固定大小的面，不少学生自然而然地认为角包括两边所夹的面。我想，这也许是导致学生对角的认识模糊的一个重要因素。那么，如何改变这种现状呢？

首先，要利用好教材中的素材，教材提供的三种素材剪刀、钟面、红领巾中，剪刀和钟面实物上的角都是动态的，然而老师们很少利用实物，基本都是运用图来让学生认识角，这样极大地削弱了素材的教学价值。如果在课堂上教师能运用实物来让学生认识角，并通过剪刀两个刀片的旋转、钟面上指针的旋转及长短来让学生观察、思考，从而实现自主构建，学生对角的认识会清晰而全面。

其次，结合学生的生活实际，在教学中可以多尝试利用动态的角，例如角的边可以旋转，角的边在视觉上可以有长短变化；还可以选择合适的生活情境，能让学生将目光关注到角的边而不被面干扰，例如华应龙老师曾选择的滑滑梯的素材就是一个很好的例子。

虽然学生对一个概念的认识不是一蹴而就的，但老师必须充分了解学生已有的认知，厘清数学知识的本质，才能更好地运用各种教学素材，进行有效的课堂教学。

（作者单位：湖北宜都市实验小学）