相对论色散关系与白矮星半径的量子引力修正效应

陈海霖,颜 骏,余 毅,钟 鑫

(四川师范大学 物理与电子工程学院,四川 成都 610066)

相对论色散关系与白矮星半径的量子引力修正效应

陈海霖,颜 骏*,余 毅,钟 鑫

(四川师范大学 物理与电子工程学院,四川 成都 610066)

研究狭义相对论中的变形色散关系,得到Lorentz破缺和光速变化的关系,分析量子引力放大效应作用下光速的变化.另外,根据修正色散关系计算白矮星的半径-质量关系式.文献(Amelino-Camelia G.Living Rev Relati,2013,16(2):7-105.)指出白矮星半径的变化可能存在一些观测效应,但他们并没有讨论这些效应的物理根源,研究结果表明:在放大效应或极高密度情况时,白矮星半径的改变才比较明显.

狭义相对论; 修正色散关系; 白矮星; 量子引力效应

1 预备知识

1905年爱因斯坦提出狭义相对论以来,该理论已成为现代物理学的三大基础理论之一,并通过无数实验加以验证,如光速不变原理、时间膨胀效应、缓慢运动物体的电磁现象等[1],其中光速不变原理已通过天文观测和粒子物理实验加以验证,目前还未发现光速发生变化或超光速现象的存在,但这些实验都是在能标较低的情况下进行的.20世纪60年代,K.Greisen[2]、G.T.Zatsepin等[3]提出了GZK截断猜想.由于宇宙线中的质子与宇宙微波背景光子发生作用而导致能量损失,因此这种高能粒子不能达到地球观测点,但是在实验观测中发现更高能量的粒子事件,为了解释GZK截断现象,那么有可能修改狭义相对论中的Lorentz对称性.

近年来,人们从各种研究角度重新研究了不同物理系统中的Lorentz破坏现象,如弦理论中的对称性破缺[4]、非对易时空中的LI对称性破缺[5-7]、粒子物理中的LI对称性破缺[8]、圈量子引力中的LI对称性破缺[9].本文将重点研究狭义相对论中的色散关系修正(MDR)[10],以及对应的LI对称性破缺问题.由于粒子物理中的标准模型已获得了无数实验验证,因此近年来人们将兴趣转向对超越标准模型的研究,如在1012eV能标以上粒子加速器可能验证超对称粒子和5维时空是否存在[11],在高能标下证实狭义相对论中的修正色散关系,以及LI对称性是否成立,将是非常有意义的研究课题.

文献[12-13]曾研究修正色散关系光子气体的热力学性质,结果发现量子引力效应对宇宙氦丰度有一定的修正,并且计算了氦丰度对高能光子和暗能量的约束;因此,修正色散带来的量子引力效应可能对致密星体或早期宇宙的物理性质产生影响.

另外,A.Camacho[14-15]建议通过量子光子中的相干性质从光子气体上探测修正色散关系,D.Mattingly[16]则较全面地综述了粒子物理、天体物理和宇宙学中的Lorentz违反规律,当然,在何种能量标度上出现光速的变化或Lorentz对称性破缺,则需要进一步精密实验加以证实.

2 相对论力学中Lorentz变换的破缺效应

在狭义相对论中经典力学方程及对应的力学量都需要修正为Lorentz协变形式,光速不变原理可给出时空间隔平方为不变量,由此可以定义固有时间dτ、4维速度矢量Uu=(γu,iγc)和4维动量Pu=(γm0u,iγm0c),

(1)

u是物体的运动速度,c为光速,m0为物体静止质量,当u≪c,4维矢量的分量分别代表物体低速运动下物体的动量和能量.4维能量动量矢量还可表示为[17]

(2)

(3)

所以得到如下能量动量的色散关系式

(4)

如果考虑了量子引力效应的作用,那么这一色散关系的修正形式[18-19]可推广为

(5)

其中,η为无量纲耦合系数,Ep为Planck能量,n为量子效应的放大或缩小指数.由于光子的静质量m0=0,那么由(5)式可导出如下光速

(6)

所以在量子引力效应的作用下光速可能发生变化,当η>0,光速变大;当η<0,则光速变小.光速的有效变化值为

(7)

取E=p=1×1012eV,Ep=1019×109eV,可计算放大指数对应的光速变化值(见表1).

表1 量子引力效应作用下光速的变化值Table 1 The change of light speed under the action of quantum gravity effect

如果不存在放大效应,那么n=1,这时光速的变化非常微小,几乎可以忽略;如果放大效应存在,那么随着放大指数的减小,则光速的变化增大.在量子引力效应影响下,那么时空间隔量可定义为:

(8)

(9)

其中

(10)

(11)

v1、v2、E1、E2、p1、p2分别表示2个坐标系中的光速以及能量和动量.由(8)～(11)式可以推导出时空间隔的变化量,Lorentz变换设为:

(12)

(13)

(14)

(15)

将(12)～(15)式代入(9)式后与(8)式相减得

δds2=ds′2-ds2=

(16)

其中

(17)

(18)

再将(17)和(18)式代入(16)式化简得

(19)

这时无量纲Lorentz破缺量定义为

(20)

当E1=E2,p1=p2,由(7)和(20)式可得Lorentz破缺量和光速变化值的如下关系

(21)

因此,Lorentz破缺正比于光速变化的程度.如E和p处于1012eV能量标度,当n=1,由于光速的变化非常小,所以Lorentz破缺效应不明显.只有E和p都处于Planck能量标度时,光速c的变化和Lorentz的破缺的程度才比较显著.

3 MDR和电子气体的简并压强

白矮星是一种半径较小,光度较低的天体,其质量不超过Chandrasekhar极限,约为太阳质量的1.44倍,其密度约为107g/cm3,中心温度约为107K(103eV).白矮星可看成是一种由氦组成的高温高密度球体[20-21],其中氦处于一种离子化的状态;因此,可将白矮星简化为一种基态电子构成的理想模型,这些电子在氦核的背景中运动.氦核可以产生束缚引力而电子可产生简并压强,在这2种力的作用下星体处于一种平衡状态[22].

文献[23]首先研究了修正色散关系(MDR)对白矮星半径-质量关系的影响,讨论了和Lorentz对称性破缺的联系.文献[24]分析了白矮星半径中量子引力的放大效应,并指出极高密度情况下量子引力效应才比较明显.文献[25]则计算了MDR存在情况下的Chandrasekhar极限质量,结果发现量子引力耦合系数为正时,MMDR>Mch;当耦合系数为负时,MMDR

由(5)式可得到电子气体的零点能量为

(22)

其中,V是体积,pF是Fermi动量,me是电子静质量.这里已取c=1,现在分别计算(22)式中3项的积分值.第1项积分为

(23)

(24)

第3项积分为

(25)

第1项和第3项合并后用函数f(xF)表示为

(26)

同理,第2项积分为

(27)

综上所述,可得到电子气体的零点能量为

(28)

其中

(29)

接下来可根据E0计算出电子气体的简并压强,于是有

(30)

首先在(28)式中第1项对体积微分得

(31)

当xF≫1时

(32)

又因为

(33)

所以

(34)

其次,在(28)式中第2项对体积微分得

(35)

其中

(36)

所以

(37)

综上所述,电子气体的简并压强为

(38)

根据这一简并压强可进一步计算出白矮星中的半径-质量关系式.

4 白矮星半径的量子引力修正效应

在Chandrasekhar模型中白矮星的稳定性质要求引力压强和Pauli简并排斥力达到平衡,Newton引力给出的压强为

(39)

其中,mp是质子质量,me是电子质量;并且

(40)

(41)

(42)

式中第2项是小量修正.进一步化简后得

(43)

(44)

其中

(46)

(46)式为Chandrasekhar半径,而(45)式为MDR形式下的修正半径,它描述了量子引力效应对白矮星半径产生的影响;因此半径变化量和Chandrasekhar半径的比值为

(47)

其中,n>0时,R修正>0,表示白矮星半径变大;n<0时,R修正<0,表示白矮星半径变小.因为(me/Ep)的数量级约为10-22,取不同的质量和放大指数可计算出白矮星的半径变化值,如表2所示.

表2 对于不同质量和放大指数的白矮星半径变化Table 2 The change radius of white dwarfs for the different mass and magnified index

从表2可以看出,当白矮星质量一定,随着放大指数减小,半径的变化值增大,并且其数量级变化非常大.当放大指数一定时,随着白矮星质量变小,其半径变化值也变小,但仍处于同一数量级.取白矮星的半径Rchan=103km,如果放大效应不存在,这时n=1,那么其半径变化值约为10-19km,这时白矮星的半径变化几乎可以忽略.另一方面,当M=0.8M0,n=1/8,η=10-3时,那么其半径的变化值约为3.5 km.当M=0.6M0,n=1/6,η=0.5×10-3时,那么其半径变化值约为2.3 km,在这种情况下白矮星的半径有比较明显的变化.

另外,白矮星半径-质量关系式还可表示为如下的等价形式

(48)

其中

(49)

(50)

这里ρchan为Chandrasekhar半径对应的密度.当ρchan≈ρ0时,如取n=1/8,那么ρchan～10-7.25GeV4,已接近于白矮星的中心密度[26],因此量子引力的放大效应比较明显.如果放大效应并不明显,并且半径变化值较大,则要求ρchan远大于白矮星的内部密度.只有量子引力存在放大效应时,才有可能观测到白矮星半径的显著变化,或者说只有在极高物质密度情况下,才可能观测到Lorentz对称破缺的物理效应.

5 结论与讨论

根据修正色散关系研究量子引力效应对光速和白矮星半径的可能影响,结果表明只有放大效应存在时光速变化比较明显.另外,在白矮星内部电子处于极高密度时,并且量子引力也存在放大效应,那么其半径的变化才具有可观测性.

本文仔细讨论了修正色散关系对白矮星半径的修正,考虑放大效应的作用后具体计算半径的变化范围.还研究了放大效应存在时白矮星半径变化的规律,计算不同质量和放大指数对应的半径变化数值,分析了物质密度对白矮星半径变化的可能影响.

如果量子引力的放大效应存在,那么随着放大指数的减小,则Lorentz破缺程度变大,即使处于1012eV以上能标,Lorentz破缺效应也可能比较明显.这些由量子引力效应带来的光速变化或Lorentz对称性破缺,将由进一步的物理实验加以证实或排除.因此,深入研究Lorentz协变性和破缺规律,将有利于人们对量子引力性质,光速变化或超光速现象的深入理解,这将是今后物理学中值得注意的一个研究方向.

[1] 张元仲.狭义相对论实验基础[M].北京:科学出版社,1979:1-144.

[2] GREISEN K.End to the cosmic-ray spectrum[J].Phys Rev Lett,1966,16(17):748-750.

[3] ZATSEPIN G T,KUZMIN V A.Upper limit of the spectrum of cosmic rays[J].Jetp Lett,1966,4:78-80.

[4] JENKINS A.Topics in Theoretical Particle Physics and Cosmology Beyond the Standard Model[D].California:California Institute of Technology,2006:1-112.

[5] KERSTING N,YAN J.Elimination of IR/UV via gravity in non-commutative field theory[J].Mod Phys Lett,2008,A23(39):3341-3348.

[6] YAN J.Functional integrals and quantum fluctuations on two-dimensional non-commutative space-time[J].Commun Theory Phys,2009,52(3):445-448.

[7] AMELINO-CAMELIA G,MAJID S.Waves on non-commutative space-time and gamma-ray bursts[J].Int J Mod Phys,2000,A15(27):4301-4324.

[8] COLEMAN S,GLASHOW S L.High-energy tests of Lorentz invariance[J].Phys Rev,1999,D59(11):116008.

[9] ROVELLI C.Quantum Gravity[M].Cambridge:Cambridge University Press,2004:315-319.

[10] AMELINO-CAMELIA G.Quantum gravity phenomenology[J].Living Rev Relat,2013,16(2):7-105.

[11] RANDALL L,SUNDRUM R.A large mass hierarchy from a small extra dimension[J].Phys Rev Lett,1999,83(17):3370-3373.

[12] 苏文杰.暗能量宇宙与暗能量天体物理性质的研究[D].成都:四川师范大学,2012:96-114.

[13] ZHANG X Y,SHAO L J ,MA B Q .Photon gas thermodynamics in doubly special relativity[J].Astopart Phys,2011,34(11):840-845.

[14] CAMACHO A .Deformed dispersion relations and the Hanbury-Brown-Twiss effect[J].Gen,Relat,Gravit,2005,37(8):1405-1410.

[15] CAMACHO A.Continuous distribution of frequencies and deformed dispersion relations[J].Cluass Quant Grav,2005,22(11):2101-2106.

[16] MATTINGLY D.Modern tests of Lorentz invariance[J].Living Rev Relat,2005,8(15):5-61.

[17] 虞福春,郑春开.电动力学[M].北京:北京大学出版社,1992:290-292.

[18] AMELINO-CAMELIA G.A phenomenological description of quantum gravity induced space-time noise[J].Nature,2001,410(6832):1065-1067.

[19] AMELINO-CAMELIA G.Quantum gravity phenomenology:status and prospects[J].Mod Phys Lett,2002,A17(15/17):899-922.

[20] ZELDOVICH Y B,NOVIKOV I D.Stars and Relativity[M].Chicago and London:University of Chicago Press,1971:271-275.

[21] SHAPIRO S,TEUKOLSKY S A.Black Holes,White Dwarfs,and Neutron Stars:Physics of Compact Objects[M].Weinheim:Wiley-VCH Verlag Gmbh & Co.K Ga A,2004:55-102.

[22] 杨展如.量子统计物理学[M].北京:高等教育出版社,2007:153-158.

[23] CAMACHO A.White dwarfs as test objects of Lorentz violations[J].Class Quantum Grav,2006,23(24):7355-7368.

[24] AMELINO-CAMELIA G,LORET N,MANDANICI N,et.al.UV and IR quantum space-time effects for the Chandrasekhar model[J].Int J Modern Phys,2012,D21(6):275-291.

[25] GREGG M,MAJOR S A.On modified dispersion relations and the Chandrasekhar mass[J].Int Mod Phys,2009,D18(6):971-982.

[26] 徐仁新.天体物理导论[M].北京:北京大学出版社,2006:146-154.

(编辑 郑月蓉)

Relativity Dispersion Relation and Quantum Gravity Correction Effect for the Radius of White Dwarfs

CHEN Hailin,YAN Jun,YU Yi,ZHONG Xin

(CollegeofPhysicsandElectronicEngineering,SichuanNormalUniversity,Chengdu610066,Sichuan)

The deformed dispersion relation in special theory of relativity is studied in this paper,the relation of Lorentz breaking and change of the light speed is obtained,we analyze that change of light speed under the action of quantum gravity magnified effect.In addition,the relation of radius-mass is calculated according to the modified dispersion relation.Literature(Amelino-Camelia G.Living Rev Relati,2013,16(2):7-105.)pointed out that it is possible to exist some observation effects for changing of white dwarf radius,but they did not discuss the physical origin of these effects.The results of this paper show that in the case of amplification effect or extremely high density,the change of white dwarf radius is more obvious.

special theory of relativity; modified dispersion relations; white dwarf; quantum gravity effect

2015-12-18

四川省教育厅自然科学重点科研基金(11ZA100)

O412; P145

A

1001-8395(2017)02-0205-06

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.02.011

*通信作者简介：颜 骏(1965—),男,教授,主要从事量子场论和引力理论的研究,E-mail:yanjun5@sina.com