带乘性噪声的广义2D Ginzburg-Landau方程的渐近行为

杨 袁,舒 级,王云肖,李 倩,汪春江

(四川师范大学 数学与软件科学学院,四川 成都 610066)

带乘性噪声的广义2D Ginzburg-Landau方程的渐近行为

杨 袁,舒 级*,王云肖,李 倩,汪春江

(四川师范大学 数学与软件科学学院,四川 成都 610066)

复Ginzburg-Landau方程是非线性科学中的重要模型,在物理学中的各个不同的分支都起着重要的作用.讨论一类具乘性噪声的随机广义2D Ginzburg-Landau方程的渐近行为,在Grauel H.和Flandoli F.(Probability Theory and Related Fields,1994,100:365-393.)建立的理论基础上,运用先验估计的方法加以证明.首先对方程的乘性噪声项进行预处理,然后运用Hölder和Young不等式以及Gronwall引理给出方程在H和V中的吸收集的存在性,从而证明该方程所对应的随机动力系统在L2中随机吸引子的存在性.

随机广义2D Ginzburg-Landau方程; 随机动力系统; 随机吸引子; 乘性噪声

1 预备知识

复Ginzburg-Landau方程是关于非平衡流体动力系统和化学系统的不稳定、超导和超流体、非线性光纤和Bose-Einstein凝聚及其空间模型描述的重要模型.目前已有许多关于2D Ginzburg-Landau方程的研究结果[1-10].对于如下广义2D Ginzburg-Landau方程

(1)

其中,σ>0,ρ、γ、ν、μ、α、β均为实参数,λ1、λ2为复值向量;许多学者已经进行了广泛而深入的研究.当σ=2时,文献[1-2]分别讨论了整体解的存在唯一性、指数吸引子、Gevery正则性、节点的个数以及它的惯性性质;文献[3]讨论了σ=3情形下整体解的存在性.

日前,含有高阶项|u|6u的随机2D Ginzburg-Landau方程,文献[6]讨论了在加性噪声驱动下的随机吸引子的存在性;但是同时含有|u|4u和|u|6u的乘性噪声下的情形,还未见相关结论.

本文考虑如下具乘性噪声的高阶广义2D Ginzburg-Landau方程

(2)

周期边界条件和初始条件为:

(3)

(4)

其中,u(x,t,ω)是未知复值函数,x∈D=(0,1)×(0,1),t>0,ω∈Ω,△是Laplace算子,σ>0,ρ、γ、ν、μ、α、β均为实参数,λ1、λ2为复值向量.方程(2)中的随机函数W(t)是关于时间独立的双边实值Wiener过程,它是定义在完备的概率空间(Ω,F,P)中,取值于L2(D)空间上的函数.

本文研究方程(2)～(4)对应的随机动力系统的长时间行为.文献[8-9]提出了随机吸引子的概念,并被广泛应用于文献[11-13]中.文献[14-15]讨论了无界区域上随机偏微分方程吸引子的相关问题,文献[16-17]则关注了格上的随机动力系统的渐进性质.

设(Ω,F,P)是一个概率空间.{θt:Ω→Ω,t∈R}是一族保测变换并且映射(t,ω)|→θtω是可测的,θ0=id,θt+s=θtθs,其中,s,t∈R,则θt是一个流;相应的概率空间(Ω,F,P,θt)被称为可测的动力系统.进一步,假设θt是遍历变换.

定义 1 设(X,d)是Polish空间(包含具有可数基的局部紧的Hausdorff空间),F是σ-代数,θ是(Ω,F,P)对应的保测变换,则可测映射φ:R+×Ω×X→X,(t,ω,x)|→φ(t,ω)x在X上P-a.s.满足:

1)φ(0,ω)=id,

2)φ(t+s,ω)=φ(t,θsω)∘φ(s,ω),∀s,t∈R+(余环性质),

3)φ(t,ω):X→X连续;

就称φ是一个连续的随机动力系统.

定义 2 设(Ω,F,P)是概率空间,(X,d)是Polish空间,映射K:Ω→2X,{K(ω)}ω∈Ω是一族紧集,且对任意的x∈X,映射ω|→d(x,K(ω))依F可测,则称{K(ω)}ω∈Ω为随机紧集.

定义 3 设(Ω,F,P)是概率空间,(X,d)是Polish空间,φ是随机动力系统,A(ω)是随机集且有界集B⊂X,

(b) 如果随机集A(ω),P-a.s.满足:

1) A(ω)是随机紧集,对∀ω∈Ω,A(ω)是紧的,并且对∀x∈X,映射x|→dist(x,A(ω))可测;

2) A(ω)是不变集,即对t>0,φ(t,ω)A(ω)=A(θtω);

3) A(ω)吸引所有的确定集合B⊂X;

则随机集A(ω)就是随机动力系统的吸引子.

这里dist(·,·)代表Hausdorff半距离,其中

依照文献[18-20]中的方法,可推出如下关于随机吸引子的存在性定理.

2 具乘性噪声的高阶广义2D Ginzburg-Landau方程

(5)

(6)

(7)

对方程(5)～(7)作如下变换:令v=z(t)u,其中z(t)=e-λW(t),则它满足Stratonovich方程

(8)

所以有

du=z-2vdz+z-1dv.

(9)

于是方程(5)～(7)可改写成如下形式:

(10)

(11)

(12)

类似于文献[7]中的定理5.1的证明,可知对任意ω∈Ω,方程(10)～(12)的解v的性质如下(在P-a.s.的意义下):

1) 对任意的v0∈H,方程(10)～(12)存在唯一的解v∈C([t0,T];H)∩C1([t0,T];H),∀T<∞;

2) 如果v0∈D(A),则v∈C([t0,T];V)∩L2([t0,T];D(A)),∀T<∞;

3) 对任意的t≥t0,映射v0=v(t0)|→v(t,ω;t0,v0)从H到H是连续的.

由以上结论,令

则S(t,ω)为乘性噪声驱动下的随机广义2D Ginzburg-Landau方程(5)产生的随机流.

3 随机吸引子的存在性

下面首先给出本文的主要结果,即随机吸引子的存在性定理.

定理 2 随机2D Ginzburg-Landau方程(2)～(4)对应的随机动力系统在L2(D)中存在一个紧的随机吸引子A(ω).

为了证明定理2,需要先给出H和V中的吸收集的存在性.

3.1H中的吸收集

引理 1 假设v是方程(10)～(12)的解,则存在随机半径r1(ω),使得对∀ρ>0,存在t(ω)≤-1,对所有的t0≤t(ω),u0∈L2(D)且‖u0‖<ρ,有以下不等式成立

其中

Q在证明中给定.

证明 令v与方程(10)在空间H上做内积并取实部得

(13)

由Hölder和Young不等式,等式右端后2项有:

则有以下不等式成立

(14)

记

则上式变为

注意到

(15)

其中

将(15)式代入(14)式得

对任意的t0≤t,t∈[-1,0],由Gronwall引理得

(17)

当t=-1时,有

(18)

记

再由(18)式得

引理 2 下面不等式

成立,其中k1、k2、k3、g1(t)由下面证明中给出.

证明 令|v|6v与方程(10)在空间H上做内积并取实部,则有

(19)

首先方程(19)右边第1项可估计

(20)

由Hölder和Young不等式,等式右端第2项有

(21)

方程(19)右边第3、4项可分别估计:

(22)

(23)

方程(19)右边第5项估计

由Gagliardo-Nienberg不等式可得:

所以有

(24)

类似于第5项估计得到第6项估计

(25)

综合(20)～(25)式,方程(19)变为

其中,k1=ε4+ε5,k2=ε1+ε3+ε6+ε7,k3=ε2+1+2,k4=l1+l2,g1=c(ρ,λ,ν,μ,γ,z)+c(1,l1,D,z)|3αλ1|16+c(2,l2,D,z)|αλ2|16.

3.2V中的吸收集

证明 将(10)式与△v作内积,再取实部得

(26)

由Hölder和Young不等式,等式右边可估计为:

(27)

(28)

综合(27)～(30)式,(30)式可变为

其中

再由引理2与(31)式可得

(32)

其中k6=k5δ,k7=k2+k5,g3(t)=g1(t)+g2(t).

可选取适当的k7和k6,使得

(33)

另外有

(34)

再选取合适的k3和k4,使得

综合(33)～(35)式,(32)式可变为

(36)

又由引理1知

可得到

(37)

(36)式两边同时加上c1r1(ω)2,得到

使用Grownwall引理,对于t0≤s≤t可得

对于t=-1,s=t0,有

(39)

(40)

当t→-∞,g3(t)≥0至多多项式增长,从而r2是P-a.s.有限的,故有

随机广义2D Ginzburg-Landau方程产生随机动力系统S,由引理1～3可得该随机动力系统存在紧吸收集,应用定理1便证得定理2成立.

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2010 MSC:35B41; 35K05

(编辑 余 毅)

The Asymptotic Behavior of the Generalized 2D Ginzburg-Landau Equation with Multiplicative Noise

YANG Yuan,SHU Ji,WANG Yunxiao,LI Qian,WANG Chunjiang

(CollegeofMathematicsandSoftwareScience,SichuanNormalUniversity,Chengdu610066,Sichuan)

Complex Ginzburg-Landau equation,an important model in nonlinear science,plays a fundamental role in various branches of physics.In this paper,we consider the asymptotic behavior for genenralized 2D Ginzburg-Landau equation with multiplicative noise.The result is verified with a priori estimate which is based on the theory established by Crauel and Flandoli (Probability Theory and Related Fields,1994,100:365-393.).At first,we preprocess the multiplicative nosie terms.And then,with the Holder and Young inequalities and Gronwall Lemma,we obtain the existence of abstracting set when equations are inHandV.As a consequence,we prove the existence of random attractor of random dynamical system associated with the equation inL2(D).

Generalized 2D Ginzburg-Landau equation; random dynamical systems; random attractor; multiplicative noise

2016-05-30

四川省科技厅应用基础计划项目(2016JY0204)和四川省教育厅自然科学重点科研基金(14ZA0031)

O177.92

A

1001-8395(2017)02-0143-06

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.02.001

*通信作者简介:舒 级(1977—),男,副教授,主要从事随机动力系统和偏微分方程的研究,E-mail:shuji2008@hotmail.com