例谈生活与“不定方程”

甘肃省定西市公园路中学(743000)

康 军●



例谈生活与“不定方程”

甘肃省定西市公园路中学(743000)

康 军●

不定方程问题大量出现在古代数学中，生活游戏中和年龄推算中，它是竞赛数学的重要内容.教师在教学过程中，随时都需要用一些贴近生活的数学问题来吸引学生，激发学生的学习兴趣，使学生在亲切、自然的情感体验中感受到数学的意义.

生活;不定方程

一、中国古代数学中的“不定方程”

例1 一千五百多年前，中国民间流传过这样的趣题：“每只公鸡五文钱，每只母鸡三文钱，小鸡三只一文钱.用100文钱买100只鸡，问买公鸡、母鸡、小鸡各几只？”

这道题最早出现在五世纪末中国数学家张邱建所著的《算经》一书中，是当时世界数学最先进的成就之一.关于这道题还有一段美妙的传说：“宰相三考张邱建”.当时，张邱建就是运用了“不定方程”的知识解答了此题：

解 用x、y、z分别表示公鸡、母鸡、小鸡的只数，列出方程：

用加减消元法可得:14x+8y=200,

即：7x+4y=100.

由解的正整数性可求得四组解：

由此可见，当年张邱建可有四种答案，何惧三考.

二、游戏中的“不定方程”

例2 你一定玩过“石头、剪子、布”的游戏，它与数学的联系你发现了吗？2003年中考中，江苏淮安市有这样一道题：“石头、剪子、布”是同学们常玩的游戏，现在我们约定：“布”赢“石头”得9分，“石头”赢“剪子”得5分，“剪子”赢“布”得2分.在小明和同学玩游戏的过程中，小明赢了21次，得了108分，其中“剪子”赢“布”7次，聪明的同学，请利用所学的知识求出小明“布”赢“石头”，“石头”赢“剪子”各多少次？

这既是一道贴近生活的开放题，又包含竞赛中“不定方程”的思路和方法，不仅能让学生积极主动地参与到学习中，获得成功的经验，而且在这种亲切自然的问题情境中，学生会产生急切的求解欲望，深切感受到游戏中也有数学问题.

借助图形，理清思路，问题就会迎刃而解.

解 设小明布赢石头x次，则石头赢剪子(21-7-x)次.可列方程9x+5(14-x)+7×2=108.

∴得x=6,14-x=8.

“布”赢石头6次，石头赢剪子8次.

三、余数问题与“不定方程”

例3 小明的奶奶送来一篮鸡蛋，这只篮子只能装55个左右的鸡蛋.小明3个一数，结果剩下1个，但忘了数了多少次，只好重数.他5个一数，剩下2个，可又忘了数了多少次.他准备再数时，爸爸笑着说：“不用数了，共有52个.”小明惊讶地问爸爸怎么知道的，你能帮小明的爸爸给小明一个完整的解释吗？

解 设此篮中共放m个鸡蛋，每3个数数了x次剩1个；每5个数数了y次剩2个，

∴y= (3x-1)/5.

①当3x-1=50时，x=17,y=10,则m=3x+1=52;

②当3x-1=55时，x= 56/3(舍去).

∴m只能取52

四、年龄推算时的“不定方程”

例4 1998年某人的年龄恰好等于他出生的公元年数的数字之和，那么他的年龄是多少岁？

于是可得：1998-(1900+10x+y) =10+x+y,

即：11x+2y=88.

问题转化为求二元一次方程的正整数解.

∵y=(88-11x)/2,其中x只能取0，2，4，6，8，而0≤y≤9，且为整数,

∴只有当x=8时，y=0满足条件.

∴他出生于1980年，于是他的年龄为18岁.

五、高速公路上的“不定方程”

例5 在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米设一个限速标志，而且从10千米处开始每隔9千米设一个测速照相标志，问第一个同时设置两种标志的地点的公里数是多少？

∴第一个同时设置标志的地点的千米数是19.

源于生活，蕴含“不定方程”的数学问题还有很多：古老中国的“五家共井” 问题，“百马拉百瓦”问题等.我们可以借助它们充溢的生活情趣，使学生在浓厚的求知兴趣中，情感得以升华，从而收到事半功倍的教育效果.

[1]张景中，任宏硕.走进科学皇后—数学趣谈[M]. 87-91

[2]中学生学习报社.中考试题研究[M],2005,32-33

[3]周春荔，王中峰.奥林匹克竞赛解题方法大全[M].山西教育出版社,162-163

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