一道模考试题的“反刍”*
2017-06-05岳峻
●岳 峻
(太和中学 安徽阜阳 236600)
一道模考试题的“反刍”*
●岳 峻
(太和中学 安徽阜阳 236600)
数学素养的提升离不开数学解题，文章以一道模考试题为素材，利用模拟试题的“原生性”，认真“反刍”，洞晓其中的奥秘，有意识地研究试题的“题根”，使得思维在形式的变化中得以提升，激活“火热”的思维．
数学解题；反刍；探究；挖掘；激活思维
数学素养的提升离不开数学解题，解题过程中的很多细节，看似平淡无奇，有时充满数学智慧，只有沉下心来仔细斟酌，认真“反刍”，方能洞晓其中的奥秘．思之愈深，道之愈简．
现以2016年广东省广州市一模理科数学试题压轴题为例，探讨其“反刍”的潜能．
1 试题再现
题目 已知函数f(x)=ex+m-x3,g(x)=ln(x+1)+2．
1)若曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线斜率为1，求实数m的值；
2)当m≥1时，证明：f(x)>g(x)-x3.
本题简洁明了，问题设置巧妙，第1)小题易得m=0.对于第2)小题的解决，不同思维层次的学生有着截然不同的求解思路，我们会发现本题是命题专家精心设计的具有典型性、选拔性的范例，极具“反刍”的潜能，是数学研究性学习的极佳素材！
2 显性思维的解法
数学解题是一种认识活动，是对数学问题通性通法的继续熟练，寻求解题思路的过程便是寻找已知信息与结论之间的逻辑联系或转化轨迹的过程．由于待证式f(x)>g(x)-x3等价于ex+m-ln(x+1)-2>0，只需证明函数h(x)=ex+m-ln(x+1)-2的最小值为正数即可．
证法1 设h(x)=ex+m-ln(x+1)-2，则
h′(0)=em-1>0，
又h′(-1+e-m)= e-1+e-m+m-em=
em(e-1+e-m-1)<0，
即
ln(x0+1)=-x0-m，
当x∈(0,x0)时，h′(x)<0；当x∈(x0,+∞)时，h′(x)>0，从而
h(x)≥h(x0)=ex0+m-ln(x0+1)-2=
综上所述，当m≥1时，f(x)>g(x)-x3．
点评 在证法1中，
h′(-1+e-m)= e-1+e-m+m-em=
em(e-1+e-m-1)<0
3 心智思维的体现
数学解题更是一种心智思维的活动，付出的有效思维与实施的运算、求解、处理等之间是一对平衡体，即有价值的思考越多则实施的基本运算就越轻松；相反，思维价值较少的智力活动自然导致运算的繁杂．当m≥1时，由于ex+m≥ex+1，待证式f(x)>g(x)-x3，等价于ex+m-ln(x+1)-2>0.
证法2 设h(x)=ex+1-ln(x+1)-2，则
即
ln(x0+1)=-(x0+1).
当x∈(-1,x0)时，h′(x)<0；当x∈(x0,+∞)时，h′(x)>0，从而
h(x)≥h(x0)=ex0+1-ln(x0+1)-2=
当m≥1时，
ex+m-ln(x+1)-2≥ex+1-ln(x+1)-2，
得证.
点评 在证法2中，通过灵活运用信息“m≥1”，获得
ex+m-ln(x+1)-2≥ex+1-ln(x+1)-2，
4 以形助数的渗透
数学的学习，心中无“形”，永远不行！由于待证式f(x)>g(x)-x3等价于ex+m-ln(x+1)-2>0，其中的函数y=ex+m是基本初等函数y=ex向左平移m个单位所得，函数y=ln(x+1)是基本初等函数y=lnx向左平移1个单位所得.而函数y=ex与函数y=lnx互为反函数，其图像关于直线y=x对称.本题是否可以应用数形结合思想加以解决呢？
图1
证法3 先证明ex+1-ln(x+1)-2>0．令t=x+1，转化为证明et-lnt>2(其中t>0)．
因为曲线y=et与曲线y=lnt关于直线y=t对称，设直线t=t0(其中t0>0)与曲线y=et,y=lnt分别交于点A,B，点A,B到直线y=t的距离分别为d1,d2，则
①若h(t0)=et0-t0(其中t0>0),则
h′(t0)=et0-1>0，
即
h(t0)>h(0)=1，
从而
②若p(t0)=t0-lnt0(其中t0>0)，则
易证p(x0)≥p(1)=1,从而
于是
综上所述，当m≥1时，f(x)>g(x)-x3.
5 深化本质的理解
没有反思的解题是低效的重复，不能很好地把握问题的本质，思维品质提升的空间也是狭小的，也不利于提升数学素养．每一个耐人寻味的试题总有其背后隐含的“题根”，在本题中，出现了y=ex+m和y=ln(x+1)，自然应该联想到函数的重要不等式，即ln(x+1)≤x．
证法4 先证明ex+1≥x+2(其中x∈R).设h(x)=ex+1-x-2，则
h′(x)=ex+1-1.
易证当x<-1时，函数h(x)单调递减，当x>-1时，函数h(x)单调递增，从而
h(x)≥h(-1)=0,
于是ex+1≥x+2(当且仅当x=1时取到等号).要证明ex+1-ln(x+1)-2>0，只需证明
(x+2)-ln(x+1)-2>0，
即
x>ln(x+1).
下面证明x-ln(x+1)≥0．设p(x)=x-ln(x+1)，则
易证当-1
p(x)≥p(0)=0,
于是x-ln(x+1)≥0(当且仅当x=0时取到等号).由于取等号的条件不同，因此
ex+1-ln(x+1)-2>0.
综上所述，当m≥1时，f(x)>g(x)-x3.
6 激活思维的呈现
我们对知识的学习往往是“浮光掠影”、浅尝辄止，其背后是缺乏对数学内涵必要而深刻的理解．“学非探其花，要自拔其根”，意思是说探究不能只停留在表面上，还要寻根究底，挖掘问题的数学本质．如果对函数的重要不等式ex≥x+1⟺ln(x+1)≤x了如指掌，本题的思路自然十分清晰．
如果知道ex+m≥x+m+1≥ln(x+1)+m+1≥ln(x+1)+2，那么本题证明的思路就一目了然了.
证法5 先证明当x>-1时，ex≥x+1，即x≥ln(x+1).设F(x)=ex-x-1(其中x>-1)，则
F′(x)=ex-1，
易证F(x)在(-1,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，从而
f(x)≥F(x)=0，
即
ex≥x+1(其中x∈R),
因此ln(x+1)≤x(当且仅当x=0时取到等号).
再证明ex+m-ln(x+1)-2>0．由ex≥x+1(其中x∈R)，得ex+1≥x+2(当且仅当x=-1时取到等号)，因为x>-1，m≥1，且ex+1≥x+2与ln(x+1)≤x不同时取到等号，所以
ex+m-ln(x+1)-2= em-1·ex+1-ln(x+1)-2>
em-1(x+2)-x-2=
(em-1-1)(x+2)≥0.
综上所述，当m≥1时，f(x)>g(x)-x3．
在数学复习教学中，教师应善于利用模拟试题的“原生性”，有意识地研究试题的“题根”，合理转化、变形、拓展、延伸，挖掘其中潜在的数学思想方法，揭示其丰富的内涵，使得思维在形式的变化中得以提升，开拓解题的思路，激活“火热”的思维．
2016-10-10；
2016-11-16
岳峻(1968-)，男，安徽阜阳人，中学高级教师．研究方向：数学教育．
O122
A
1003-6407(2017)04-47-04
