博弈论在数学建模中的应用

陈筱

摘 要：介绍了数学建模与博弈论的基本定义，并给出一个数学建模中的实例，介绍了博弈论在数学建模中的应用，并给出了不完全信息静态博弈的理论。

关键词：数学建模；博弈论；静态

一、數学建模与博弈论

（一）数学建模

按通俗意义讲是通过生活中的实际问题建立相应的数学模型去解决各种问题，但数学建模并不是生活中所有解决问题方法的代名词，它是运用适当的数学理论以及工具找寻问题原型中的内在规律，建立一个数学方程或模型去解决求解并得到最优结果。数学建模理论中需要用到的基础学科例如图论、线性代数、概率与统计等等，这都是常见的数学学科。但在实际应用或比赛中，很多问题的综合性与抽象性使得数学这门理论学科在应用方面显得格外艰难，很多案例都不能具体直观的建立模型，特别是对于非数学专业的学生来说，他们只学过高等数学、概率论等基础理论，另外的运筹学与优化问题、泛函分析等专业数学知识并未涉及。另一方面，数学专业的学生对其他应用专业的认知和涉及也是非常浅的，即便数学专业理论知识很扎实，也不能很好的与其他学科结合应用，这样就造成了数学建模的短板，所以数学建模需要综合许多应用学科和专业型人才结合应用。近年来，越来越多的前沿科学与数学建模交叉应用，比如神经网络算法、小波分析、图像处理、博弈理论等等，这样数学建模才可以广泛被应用于各类生活问题中。

（二）博弈论

博弈论是由游戏规则理论演变而来的，在我们日常生活中随处可见的棋牌、彩票等各种不同类型的游戏中，当然我们也可以将博弈论看作是一个游戏的原型理论，但不管是哪种形式的游戏都有一个相似之处，也就是游戏中参与者选择的策略方式，我们都知道在任何游戏中，计谋是最重要的，语气说游戏是看概率的大小或运气的好坏，还不如说是选择计谋的好坏。在许多军事策略和市场经济中，所谓的竞选和谈判都和游戏相似，都是需要依赖提前选好优化的策略和方式才可能有较好的结果。博弈论分为合作博弈与非合作博弈，在现代更多地方提到的是非合作博弈，并且合作博弈与非合作博弈是互斥的，二者只能存在其一，至于合作博弈与非合作博弈在本文中就不再详细作介绍。在非合作博弈中又分为：完全信息静态博弈、完全信息动态博弈、不完全信息静态博弈、不完全信息动态博弈。在任何一个博弈活动中，除了具备满足博弈过程的四个条件以外，还要具备能有利用数学建模等专业知识对其进行分析的先前条件。

二、博弈论在数学建模中的应用

在许多的数学建模问题中，虽然有不少设计博弈论的实际问题，但大部分都展示的不够直观，解题者不能从问题中清晰的了解其问题指向性，这就更加需要学生多学习数学建模与博弈论的相关理论。举一个数学建模中的经典实例：

问题提出：某人带狗、羊以及蔬菜渡河，一小船除需人划外，每次只能载一物过河.而人不在场时，狗要吃羊，羊要吃菜，问此人应如何过河？此问题可化为状态转移问题，用四维向量来表示状态，当一物在此岸时相应分量取为1，而在彼岸时则取为0，第一分量代表人，第二分量代表狗，第三分量代表羊，第四分量代表菜。根据题意，井不是所有状态都是可取的.通过穷举法列出来，可取状态是：

总共有十个可取状态.

模型求解：引入一个四维转移向量，用它来反映摆渡情况.用1表示过河，0表示未过河. 此状态只有四个允许转移向量：（1，0，0，0），（1，1，0，0），（1，0，1，0），（1，0，0，1）规定状态向量与转移向量之间的运算为0+0=1，1+0=1，0+1=1，1+1=0问题化为，由初始状态（1，1，1，1）出发，经过奇数次上述运算转移为状态（0，0，0，0）的转移过程。

则可得两种等优方案

这是一个重复的博弈问题，通过重复的博弈来说明在数学建模的过程中可供选择的方案是多样的，重点就在于选择最优的策略方案解决具体问题，运用博弈理论的建模案例有很多，本文就不一一详尽。总之，数学建模需要用到的专业知识太多，我们应该不断学习与进步。

参考文献：

[1]姜启源.数学模型[M].第三版.北京：高等教育出版社，2003.

[2]张维迎.博弈论与信息经济学[M].上海：上海人民出版社，1996