由一道关于三角函数范围题目引发的思考

广东省广州市华南师范大学 陈铭睿

由一道关于三角函数范围题目引发的思考

广东省广州市华南师范大学 陈铭睿

求范围问题的应用一直是一个热门考点，且其中包含的知识很广泛，比较考验学生的综合应用能力。其中三角函数范围是一个较难突破的点，角的范围和三角函数的取值相互制约。而学生在三角函数取值中经常会出现漏解和错解的情况，其原因很有可能是忽略了题中一些条件，将角的范围扩大化。本文就一道综合性较强的求解三角函数范围的题目，探讨一下其中可以深究的问题。

一、案例呈现

我们来看题目：如图是一个三角形，其中A，B，C三个角分别对应的边长为a，b，c，且过A作BC边上的高AD，AD长度为a，试求的范围。

解析：首先观察我们所要求的式子，发现为两式之和且互为倒数的形式，又由于b，c都为正实数，能较容易想到使用如均值不等式的形式，在本题中就是时能取等号。

二、完善探究

直到这里原式的范围就出来了，一些习题册或试卷中所给的参考答案到这里就结束了，大同小异如此一般。 但是在这里我们不妨来思考一个问题：题中的上限值是否能取到，即A的取值是否能让成立？

平时遇到类似的问题时，许多人可能做到这一步的时候，理所当然地认为正弦函数能取到1。但由于所用到的角度是在一个三角形中的，是有限制的，所以这里应该还要检验取到的值是否符合题目限制条件的要求，下面我们来探究一下角的取值范围。

由于这里的三角形没有特殊说明，故我们需要分情况讨论。第一种是AD在三角形内，落在BC上，第二种AD是在三角形外，落在BC的延长线上。

再来看第二种情况，如图，假设BD长度为x，则DC=a+x，且利用正切函数的差公式有：

三、反思小结

众所周知，严谨性是数学科学的一个基本特点。所谓数学的严谨性，就是指对数学结论的叙述必须精确，结论的论证过程必须严格、周密。以这道题为例，许多同学可能只注重结果，对上答案了可能就不会再考虑这个答案是否完整，是否严密。现在关于数学的辅导和练习资料众多，其内容的质量也是参差不齐的。对于一些比较依赖答案、比较缺少自己思考的学生来说，参考一些不严谨甚至存在错误的资料，会非常不利于他们数学的学习。

像这种类型的题目有很多，学生也常常求出最后的范围后就以为完成了，而不会去检验这个范围是否合理。教师在进行教学时，首先自身应该做到思维缜密、言必有据，在平时的教学时要注意培养学生思维过程和解题过程的严谨性、完整性。 最后，引用数学上一句经典的话：培养学生严谨的治学态度不一定是他们学好数学的充要条件，但肯定是一个必要条件。

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陈铭睿，（1996-07-），男，汉族，广东省珠海市人，华南师范大学学生，本科，研究方向：数学与应用数学）