浅谈取整函数
2017-05-31邢怀勇
邢怀勇
摘 要：取整函数是一个非常重要的数学概念，本文通过对几个例题的分析阐述了解有关取整函数类问题的策略.
关键词：取整函数；解题策略
取整函数定义：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数.则y=[x]称为高斯函数，也叫取整函数.显然，y=[x]的定义域是R，值域是Z.任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和，即x=[x]+a（0≤a<1），因此，[x]≤x<[x]+1.
取整函数是一个非常重要的数学概念.它的定义域是连续的，值域却是离散的，取整函数关联着连续和离散两个方面，因而有其独特的性质和广泛的应用.在数学竞赛或高考中也备受命题者的青睐.用[x]命制的试题情境新颖，弹性大，利于赋予新意，具有挑战性，而在解决与之相关的问题时，可以依据的命题、法则不多，规律性不明显，解法变化大，灵活性强，往往会用到多种数学思想方法，其中较为常见的有分类讨论（例如对区间进行划分）、命题转换、数形结合、凑整、估值等等.
例1 试画出f（x）=x-[x]的图像.（[x]表示不大于x的最大整数）
解析 若做出上述函数图象，需先分析一下取整函数[x]的图像的基本性质和特征.
（1）由y=[x]的定义易知[x]的图形在y=x的图形的下方.
（2） 由y=[x]的性质知[x]的图像是一组阶高为1的平行于x轴的平行线段，这组平行线段呈阶梯形.
可见函数y=[x]是一个不减（非单调） 的非周期的函数，其图像如下：
所以f（x）=x-[x]， 是一有界、周期为1的非单调函数，其图像如下图所示：
例2 （2010年高考陕西卷理科10）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为（ ）
A. y=x10x+310B. y=x+310
C. y=x+410 D. y=x+510
解析1 当x除以10的余数为0，1，2，3，4，5，6时，由题设知y=x10，且易验证知此时x10=x+310.
当x除以10的余数为7，8，9时，由题设知y=x10+1，且易验证知此时x10+1=x+310.
故综上知，必有y=x10.故选B.
解析2 依题意知：若x=16，则y=1，由此检验知选项C，D错误；若x=17，则y=2，由此检验知选项A错误.故由排除法知，本题应选B.
例3 某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点Pk（xk，yk）处，其中x1=1，y1=1，当k≥2时，
xk=xk-1+1-5[T（k-15）-T（k-25）]，yk=yk-1+T（k-15）-T（k-25）.
T（a）表示非负实数a的整数部分，例如T（26）=2，T（02）=0，按此方案，第6棵树种植的坐标是，第2008棵树种植的坐标是.
解析 xk是1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，….
yk是1，1，1，1，1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，….
由規律可知，第6棵种植点是（1，2），第2008棵种植点是（3，402）.
例4 设[x]表示不超过x的最大整数（如[2]=2， [54]=1），对于给定的n∈N*，定义C2n=n（n-1）…（n-[x]+1）x（x-1）…（x-[x]+1），x∈[1，+∞），则当x∈32，3时，函数C2n的值域是
A.163，28 B.163，56
C.4，283∪[28，56）D.4，163∪283，28
解析 当32≤x<2时，[x]=1，Cx8=8x∈（4，163].
当2≤x<3时，[x]=2.
Cx8=56x（x-1）∈（283，28]，于是选D.
例5 （2015年聊城市数学联赛）解方程3x3-[x]=3.
解析 对于次数较高的含[x]的方程，分区间讨论不失为一种有效的方法.
若x≤1，则3x3-[x]≤3x-x+1=2x+1<0.原方程不成立；
若-1 若0≤x<1，则3x3-[x]=3x3-0=3x3<3.原方程不成立； 若1≤x<2，则3x3-[x]=3x3-1.原方程即为3x3=4，解得：x=343； 若x≥2，则3x3-[x]≥3x3-x>3x-x=2x>4.原方程不成立； 所以，原方程的解为：xx=343. 数学提供了有特色的思考方式：抽象化、符号化、公理化、最优化、建立模型，应用这些思考方式能使人们批判的阅读，辨别谬误，摆脱偏见，估计风险.所以说数学是思维的体操. 同时，数学的抽象性可帮助我们抓住事物的共性和本质，数学赋予知识以逻辑的严密性和结论的可靠性，它能增强思维的本领，提高抽象能力、逻辑能力和辩证思维能力.
