关于高中阶段导数知识的深入讨论

摘要：本文阐述了导数不存在的两个判断方法及导数存在的两个判断方法，指出了导数的实质就是函数的变化率，其几何意义就是函数的曲线在该点处的斜率，并举例来说明相关问题。

关键词：导数；概念；实质；几何意义

“导数及其应用”这部分内容是高中数学教材中比较重要的一章，在学生升入大学后，这部分内容又是高等数学课程教材中比较基本也是比较重要的一章，是微积分学的核心内容之一。在高中阶段课程改革后，高考大纲增大了对“导数及其应用”这一部分内容的要求和考察力度[12]。在高中数学教学过程中，很多同学在学习这一部分内容时遇到了不同程度上的理解和运用上的困难，究其原因，在于对知识点没有理解透彻。当我们下功夫把这一内容整理清晰，理解并吃透之后，会学到很多非常经典的数学思想和数学方法，为此我们将受益终生。作者在认真学习了高中数学教材，参考相关教学辅导资料，并查阅了同济大学数学系编写的《高等数学》教材，对导数相关问题作以下阐述。

1 函数在一点处导数不存在的两种判断方法

（1）如果函数f（x）在点处不连续，则函数f（x）在点x0处不可导。这基于导数的一基本结论“可导则连续，连续不一定可导”。连续是函数在一点可导的必要条件。

（2）如果函数f（x）在点x0处连续，但在点x0处的左导数与右导数中至少有一个不存在，或都存在但不相等，则函数f（x）在点x0处不可导。

例1 讨论函数

f（x）=[JB（{]0，x≤0，[KF（]x[KF）]，x>0.[JB）]

在点x=0处是否可导。

解析：易求得函数f（x）在点x=0处的左导数为0，但右导数不存在，故函数f（x）在点x=0处不可导。

例2 讨论函数f（x）=|sinx|在点x=0处是否可导。

解析：易求得函数f（x）在点x=0处的左导数为-1，右导数为1，故函数f（x）在点x=0处不可导。

从几何意义上来看，在例1中，当我们从x=0的左边作割线来逼近得到x=0的切线方程为y=0，当我们从x=0的右邊作割线来逼近得到x=0的切线时，切线是垂直于x轴的，我们知道此时其导数是不存在的。在例2中，当我们从x=0的左边作割线来逼近得到x=0的切线方程为y=-x，当我们从x=0的右边作割线来逼近得到x=0的切线方程为y=x，此时在x=0处不能得到唯一切线，我们知道此时其导数是不存在的。

2 函数在一点处导数存在的两种判断方法

（1）设函数y=f（x）在点x0附近有定义，当自变量x在点x0处取得增量Δx时，相应的函数取得增量Δy，如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在，则称函数y=f（x）在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f（x）在点x0处的导数[3]。这即是函数在一点处可导的定义，满足此定义，则函数在该点处可导。

（2） 如果函数f（x）在点x0处的左导数与右导数都存在且相等，则函数f（x）在点x0处可导。这是函数f（x）在点x0处可导的充要条件，要求函数在该点的左导数存在，右导数存在，而且二者相等，当这三个条件都满足时才能说明函数在该点可导。

对于本文前面的例1和例2，由于两个问题中函数在点x=0处都不满足这个充要条件，故两个函数在点x=0处都不可导。结合这两个例题，我们再分析函数f（x）在点x0处可导的这个充要条件，从导数的几何意义可以看出，函数在一点可导必然其曲线在这点附近是光滑的，否则从左边和从右边来作割线逼近得到的切线就不唯一，当然切线的斜率就不会相等，也就是左导数和右导数不相等，故函数在该点不可导。但反过来说，函数的曲线如果在点x0的附近是光滑的，那么函数就一定在该点可导吗？

例3 讨论函数f（x）=[KF（S]3[]x[KF）]在点x=0处是否可导。

解析：容易求得函数f（x）=[KF（S]3[]x[KF）]在点x=0处的左导数和右导数都是不存在的，故函数f（x）=[KF（S]3[]x[KF）]在点x=0处是不可导的。但从图像上来看，这个函数在整个定义域上都是光滑的，从而我们确定，光滑不一定可导。

3 函数在一点处的导数实质与其几何意义

导数概念其实质上是函数的变化率问题，反映的是变量变化的快慢。从而可以抛开自变量和因变量其代表的实际上表示的物理或几何等意义，单纯地从数量方面来表达变化率的实质，反映出来的是因变量随着自变量的变化而变化的快慢问题。

如我们在研究物体直线运动问题时，已知位移s关于时间t的函数s=s（t），欲求物体在t0的瞬时速度。当我们给时刻t0一个增量Δt时，位移得一个增量Δs，此时我们可以得到时刻t0到t0+Δt的平均速度为

[SX（]Δs[]Δt[SX）]=[SX（]s（t0+Δt）-s（t0）[]Δt[SX）]，

而当Δt0时，我们可求得其极限

limΔt0[SX（]s（t0+Δt）-s（t0）[]Δt[SX）]=[SX（]ds[]dt[SX）]|t=t0′，

此时求到的是时刻t0到t0+Δt的平均速度当Δt→0时的极限值，其实质上就是物体在t0的瞬时速度，也即位移函数s=s（t）在t0时刻的瞬时速度。

函数在一点处的导数的几何意义则在于函数的曲线在该点处的切线的斜率。我们可以根据导数的几何意义来求函数在一点处的切线方程和法线方程。

例4 求函数y=2e2x在x=1处的切线方程。

解析：易求切点坐标为（1，2e2），再求切线的斜率。

由于，[SX（]dy[]dx[SX）]=4e2x，故可求切线的斜率 [SX（]dy[]dx[SX）]|x=1=4e2，故可得所求切线方程为y-2e2=4e2 （x-1）。

参考文献：

[1]付禹.高中生学习导数及其应用时的困难点研究[D].东北师范大学硕士学位论文，2015.

[2]付禹.高中生“导数及其应用”学习障碍的研究[D].山东师范大学硕士学位论文，2013.

[3][JP3]高等数学[M] .同济大学数学系.高等教育出版社，[JP]2006.

作者简介：邱天冲（2000），男，高三在读，东北师范大学附属中学，15级12班。