刚体的力学与运动学分析方法

舒牧葳

摘要：刚体力学的研究方法，服从力的平衡、力的合成与分解、能量守恒等基本原理，在此基础上，还要结合刚体的动力学等数学方法，共同求解刚体问题；刚体由于不可压缩性，又有其独特的规律，本文用矢量分解的方法，将数学方程和分析物理现象两个角度结合，研究细长刚体的力与运动问题，

关键词：刚体力学；运动；数学方法；物理方法；矢量分解；轨迹方程

刚体力学从静力平衡的基础出发，结合能量守恒，以及动力学方程，可以深入的研究刚性物体的受力状态，运动过程，运动终止状态；与静力学的范畴不同，在任意位置，受力并不一定平衡，即所受的各个力并不一定交于一点，刚体因此可能产生转动等。但仍可以进行受力分析，刚体在运动中及受力作用后，其形状和大小不变。且刚体内部各点之间的相对位置关系也不变。研究刚体适用能量守恒定律，动量守恒定律，角动量守恒定律等基本方法。

本文研究了刚体的力学与运动学特征，列举了两种场景。场景是理想光滑平面和光滑垂直平面，在刚体受到微小扰动后的刚体运动模型，分析其物理过程可知，存在某临界点，刚体的运动状态将发生改变，由于该物理过程较为复杂，不能采用静力学平衡的分析方法，故需列出其动力学方程，结合力的分析，通过数学方法解释物理现象。同时较多地采用数学方法，也有助于更深入的理解物理学场景，两种研究方法应有机的结合起来，让数学工具为进一步分析物理问题提供帮助，通过数学结果解释物理现象；同时也训练物理思维能力，通过物理规律列出数学方程。

一、刚体靠光滑墙面光滑水平面滑落场景

如图1：墙面光滑，水平面光滑，初始时刚体紧贴墙面竖直放置，受到微小扰动后，刚体开始沿着墙壁缓慢下滑，由于受到重力的作用，刚体继续加速滑下，其质量记为M，刚体中点记为O，其长度记为L，在中间某个状态，刚体与水平面所成夹角α为参数，描述刚体的瞬时状态，其靠墙的接触点竖直向下的速度记为V1，与水平面的接触点平行向右的速度记为V2，竖直墙面作用于刚体的弹力水平向右记为N1，水平面作用于刚体的弹力竖直向上记为N2。上下两端分别记为A，B。

由于刚体运动过程中各点没有相对位移，根据O点与刚体两端点的几何关系有：

V[DD（-*5]0=[SX（]1[]2[SX）]（V[DD（-*5]1+V[DD（-*5]2）

由V1，V2的正交性有：

V0x=[SX（]1[]2[SX）]V2，Voy=[SX（]1[]2[SX）]V1

B点对O点的相对运动关系为：

V[DD（-*5]Bo=（V[DD（-*5]B-V[DD（-*5]o）

即VBox=[SX（]1[]2[SX）]V1，VBoy=[SX（]1[]2[SX）]V2

研究B点对O点的相对运动关系，因为A，B两端都在绕O旋转，于是O点的角速度为两速度在旋转方向线速度的叠加，其叠加后的角速度为：

ω=[SX（]VBoxsinα+VBoycosα[][SX（]1[]2[SX）]l[SX）]=[SX（]V2sinα+V1cosα[]l[SX）]

剛体由于不能压缩，于是由速度牵连关系有：

V2cosα=V1cos（90°-α）

即V2=V1tanα

即：

ω=[SX（]V1cosα+V1tanαsinα[]l[SX）]=[SX（]V1[]lcosα[SX）]

杆动能为平动动能与转动动能之和，由能量守恒定律：

mg（1-sinα）[SX（]l[]2[SX）]=[SX（]1[]2[SX）]Jω2+[SX（]1[]2[SX）]mV02

可以较为容易的证明，细长刚体对其中点的转动惯量为：

J=[SX（]1[]12[SX）]ml2

上式的证明用到简单的线积分，其过程不复杂，在此当结论直接引用。

V02=V0x2+V0y2=[SX（]1[]4[SX）]（V12+V22）=[SX（]V12[]4cos2α[SX）]

V0=[SX（]1[]2[SX）]ωl

解得：ω2=[SX（]3g（1-sinα）[]l[SX）]

V02=[SX（]3gl（1-sinα）[]4[SX）]

因质心O做圆周运动，故

V0x=V0sinα

上式两边平方，后对时间求导，注意到上式中速度是时间的函数，根据复合函数求导的原则有：

2V0xax=2V0sin2α[SX（]dV0[]dt[SX）]+2sinαcosαV02[SX（]dα[]dt[SX）]

又2V0

[SX（]dV0[]dt[SX）]=-[SX（]3gl[]4[SX）]cosαω

联立解得

ax=V0ω[

-[SX（]sinαcosα[]2（1-sinα）[SX）]+cosα]

刚体离开墙面时，ax=0。

即

[SX（]sinαcosα[]2（1-sinα）[SX）]=cosα

sinα=[SX（]2[]3[SX）]

以上借助微分方程对细长刚体离开墙面的时刻进行了分析，其要点在于：

刚体在沿着墙面倒伏的过程中，由于受到竖直墙面的水平向右的作用力，根据动量定理，该作用力使得刚体获得向右的速度，在重力的作用下，根据能量守恒，刚体会加速下滑，在上述两种力的综合作用下，刚体的运动存在某个临界点，在该点处，刚体刚好脱离墙面，从此不再受到竖直墙面水平向右的作用力，即整个质心向右的速度不再增加；从此时开始，刚体受到的力只有重力，以及水平地面竖直向上的反作用力。

上述的解法主要体现了用偏数学的方法解决物理问题；另一方面，研究刚体的物理现象，从偏向物理学的分析方法，从质心运动的规律出发，作出刚体运动的几何关系图如图2：

从墙角P到质心O的连线如图2，△POA中PO=AO，即O点做以P为圆心OA为半径的圆周运动。且∠OPB=∠OBP；∠OPA=∠OAP。

故质心O点的圆周运动的角速度，角加速度与杆绕质心转动的角速度，角加速度相等。设杆上段A离开墙面时角速度和角加速度分别为ω，β；与地面夹角为α。则质心O点的速度，向心加速度，切向加速度分别可以表示为：

V0=[SX（]ωl[]2[SX）]

a1=[SX（]1[]2[SX）]ω2l

a2=[SX（]1[]2[SX）]βl

当临界离墙时，杆不受水平作用力，质心水平方向的加速度为0，即向心加速度，切向加速度质心O点在水平方向的分量矢量和为0：ω2[SX（]1[]2[SX）]lcosα=β[SX（]1[]2[SX）]lsinα上式对时间求导：ω2=[SX（]3g（1-sinα）[]l[SX）]

由前面的推导：[SX（]2[]3[SX）]βl=-gcosα

又因为：

ω=-[SX（]dα[]dt[SX）]

联立解得：

sinα=[SX（]2[]3[SX）]

以上用刚体的性质，一种方法从偏数学的角度，根据矢量的分解合成关系，列出微分方程，通过求导等数学运算，确定了刚体恰好离开墙时的运动姿态。另一种方法分析了在离开墙面的时刻，其速度及加速度应该满足的物理关系，结合刚体的几何特征，根据矢量的分解合成关系，也得到了同样的结果，证明在分析刚体运动的过程中，数学或者物理方法，都是可以得到正确结论的，数学工具固然很重要，但对物体进行物理现象分析，既方便又本质地揭示了物理过程，也使求解的过程更加锻炼了物理思维。

二、刚体自由滑落场景

该场景与场景一不同，左侧没有竖直墙壁倚靠。根据动量守恒定律，刚体没有受到水平向右的作用力，则不会获得向右的速度，于是运动终了状态质心没有水平位移，即刚体只在竖直方向向下倒下，其过程仍然满足重力场中的能量守恒，整个过程只有重力做功。

初始状态刚体垂直于光滑水平面，轻轻松开后，刚体在受到微扰后开始偏离竖直方向，之后在重力的作用下，刚体开始向下倾倒，过程之中受到地面向上的反作用力，在任意状态并不服从静力学平衡，但在该场景中，除重力的外力做功为0，刚体最小系统服从能量守恒定律。

与刚体靠墙滑落不同，因水平方向不受外力，故质心速度竖直向下，设质心速度为V0，B点方向水平向右为V1，杆相对于质心O的角速度为ω，根据速度牵连关系有：

V0cos（90°-α）=V1cosα

B点相对O点的水平速度Vx=V1；Vy=V0

故

ω=[SX（]Vxsinα+Vycosα[][SX（]1[]2[SX）]l[SX）]=2[SX（]V0[]lcosα[SX）]

由能量守恒定律：

mg（1-sinα）[SX（]l[]2[SX）]=[SX（]l[]2[SX）]Jω2+[SX（]1[]2[SX）]mV02

V2=[SX（]3glcosα2（1-sinα）[]3cosα2+1[SX）]

ω2=[SX（]12g（1-sinα）[]（3cosα2+1）l[SX）]

上述的求解过程，与场景一比较类似，还是利用刚体内相对位置不变，各点之间的运动满足某种规律，结合能量守恒列出方程求解。

三、刚体运动轨迹方程

抛开受力分析，对刚体进行运动学建模也是很有意义的。以下考虑刚体自由倒伏时，其运动的方程。由于没有受力分析，运动学的分析较多从数学角度出发，可以结合几何原理，类似于解析几何的观点解决问题。在该场景中，研究了刚体上几个典型位置的运动规律，通过几何关系，可以由此知道整个刚体的运动形式，对运动状态作数学描述，然后根据数学结果给出解释。本文讨论刚体在自由释放后，上端的轨迹方程，，下端点由于与上端点存在依存关系，求解的过程类似，求解的过程主要用到了数学方法。

刚体自由倾倒时，A点与质心O点的距离不变，O点则竖直加速向下，于是有如下的运动关系：

（XA-X0）2+（YA-Y0）2=[SX（]l2[]4[SX）]

根据几何关系

Y0=[SX（]1[]2[SX）]YA

联立解得：

XA2+[SX（]YA2[]4[SX）]=[SX（]l2[]4[SX）]

四、总结

数理方法是数学和物理结合的分析工具，由于对物理现象的描述，通常大量的使用数学公式，这些公式大都具有一定的物理意义，即数学方程的物理解释。同时在分析物理现象的过程中，中间结論可能也蕴含着物理意义，从中洞察物理背景是物理学中需要的主要能力之一。对物理现象的观察，从纯粹物理学的角度分析，也是锻炼物理思维的好方法，将两种方法结合起来，有助于我们更加深入的分析物理现象。提高我们的洞察力。

本文设定了三个刚体的场景，第一个场景，相对更复杂，受力分析来源于两个墙面，重力；运动被限制在竖直墙面的右侧，通过数理结合的方法解决了其力与运动的关系问题。第二个场景，撤去了竖直墙面，受力分析交场景一简易，运动状态也与场景一不同，但分析方法是大致相同的，即刚体的性质以及能量守恒，结合矢量的合成与分解。接着用解析几何的方法研究了运动轨迹问题，通过几何关系建立数学模型，对结果进行了结合解释。通过研究F刚体的力与运动，展示了一种一般性的分析刚体力学的数理分析方法。

研究刚体的运动规律，需要仔细分析物理现象，从受力状态，能量守恒等物理本质出发，结合几何分析，数学方程等数学方法，结合两种方法综合求解。从分析物理状态入手，在动力学模型中，寻找其内在规律，通过数学方法计算，再用物理学的分析方法对计算结果进行解释；或者从物理学的角度出发，根据速度，加速度，圆周运动等物理现象服从的物理定律入手，更本质地揭示物理规律，此时数学也是很有用的工具，通过本文的分析，可以看出数理相结合的思维方法，是分析刚体动力学的有力工具，也是物理过程建模的重要方法之一，数学和物理只是从不同角度，对同一客观现象的客观描述。

参考文献：

[1]周培源.理论力学[M].科学出版社，2012.

[2]何斌，安逸，宋林辉，等.从刚体力学引出结构稳定性的几个基本概念[J].力学与实践，2013，35（2）：9598.

[3]吴昌悫，汪恩松.数学在刚体力学主轴问题中的应用[J].大学数学，1995（2）：3738.