苗族生活中的数学文化

姜世花+肖绍菊+肖玲

摘 要：通过对榕江县朗洞苗族服饰图案、造型的调查和研究，发现苗族生活中蕴含着丰富的数学文化，含盖了大量的平面几何知识和代数知识，也包括球、星形线、阿基米德螺线、圆锥体等知识，特别是朗洞苗族喜爱使用的菱形图案更是反映了苗族生活中数学文化的运用。

关键词：榕江县朗洞；苗族服饰；数学文化

中图分类号：J523 文献标识码：A 文章编号：1674-621X（2016）02-0127-09

苗族生活与数学文化有着密切的联系，比如在生活用品、生产工具、记数、几何概念及运算法则上都不同程度、不同形式地表現出来，特别是在建筑、服饰、竹编、节日活动等方面都运用得十分到位。本文作者在对榕江县朗洞苗族进行细致的观察和调研中发现，朗洞苗族生活中的数学文化无处不在，特别是在苗族的服饰图案和饰品造型中运用得极为普遍，为此，作者对朗洞苗族的服饰图案和饰品造型中数学文化运用进行详尽分析，从中以窥见苗族人民生活中的数学知识运用情况。

榕江县朗洞镇位于榕江县城北80公里，镇内辖20个村139个村民小组，77个自然寨，为苗族、侗族、汉族大杂居，其中苗、侗民族占8353%。① ①榕江人民政府办公室，榕江县地方（年鉴）编纂委员会办公室编，榕江县情，2004年.10，第328页。 朗洞的苗族主要聚居雷公山南面的宰牙、定向、岑最、高略、高帮、两福、岑向、色同、九董、宰帮等村寨。朗洞苗族服饰比较特别，有人因其形而称之为“武士的铠甲”， 朗洞苗族却自称是“穿着‘恋服的苗族”，“恋”为苗语，指一种方块花纹的布，可以说是朗洞苗族服饰的一个明显的特征，成年女性上衣背部都必须要有这种方块花纹布，严格规定冬装有3块，夏装有2块。朗洞苗族女装为上衣下裙结构，由上衣、胸兜、腰带、百褶裙、前围腰、后围腰、绑腿等构成，男装为上衣下裤结构，由包头巾、对襟衣、绑带、裤子等构成。朗洞苗族装饰在服装上的绣片花样却各式各样，种类极其繁多。苗族服饰是苗族文化的一种象征，是苗族独特的文化艺术形式，做工精细，颇具匠心，被誉为“穿在身上的史书”，它代替了文字的功能，也是苗族历史、文化、艺术、哲学和信仰的视觉再现[1]。在对朗洞苗族服饰进行实地调查后发现，朗洞苗族服饰中的图案纹样以及饰品都蕴含着大量的几何纹样，有三角形、菱形、梯形、五边形（凸五边形和凹五边形）、六边形、圆形、扇形、圆柱等，这些基本的几何图形通过拼接、对称、组合构成了菱形纹、八角花、十二角花、回纹、涡纹、锯齿纹、蝶纹等等。

一、服装图案中的几何图形

在朗洞苗族服饰中，少女盛装是最具有代表性的服饰。图1是朗洞苗族十几年前的少女盛装，整套服装以青色为底，在胸围兜、上衣、围腰、绑腿中都绣有彩色的绣片，头上顶着3只大鹡宇鸟，颈上佩戴着链条项链和银锁，背上戴着银背吊，悬于胸围兜上。图2是近几年的少女盛装，与图1比较，这套服装已经没有了胸围兜，整套服装上下都铺满了花及彩带，衣服以红色为底，在颜色上主要是由白色、黄色、粉色与橙色4种颜色搭配而成，从远处看来就像是橙色与白色搭配，在佩戴的饰品中，头上戴银帽，颈上常佩戴蝴蝶状的压领。随着时代的进步，人们的生活条件越来越好，审美的角度也在渐渐的改变，从图1和图2可看出短短的几年内服饰发生了很大的变化。从服饰的演变来看，朗洞苗族受到了外来文化一定程度的影响，但无论是哪款服饰，朗洞苗族服饰上的绣片图案都是以方块为主，并在里面绣满龙、蝴蝶、鱼、鸟、虫以及一些花草[2] ，并且在里面含有大量的几何图形。

图1 朗洞传统少女盛装 图2 朗洞近几年少女盛装 图1和图2中的前围腰的形状都呈如图3所示，即由1个六边形与1个长方形拼接而成的，图3-1是它的绣片，在绣片内部含有几何图形：三角形、菱形、长方形、六边形、平行四边形等，其中菱形最为突出。朗洞苗族妇女的刺绣针法都是挑花，挑花有2种基本针法，分别是“-”和“×”，其中“-”是最小的单位[3]，这几块绣片都是以“-”为基本针法的平挑花。

图4是胸围兜，图4a是抽象化了的图形，由这2幅图可知胸兜是由4块绣片构成的，最中间的绣片为凹五边形（如图4b），两侧为长方形绣片，而下面的绣片呈梯形。图4b是胸兜中间的绣片，是抽象化了的蝴蝶，它也是以“-”为基本针法的平挑花，在绣片里面有三角形、菱形、长方形等几何图形。

图4b 胸围兜绣片 图5是男装，它显得朴素了许多，衣服和裤子都是黑色的，包头巾和腰带上稍有些艳丽的色彩。通过观察发现，图5上的包头形状是一个圆柱形，都是用黑布环绕而成的，将最里层端头的布折成扇子形状耸立于耳朵上方；再如图5a，它是图5中的腰带，是一种织锦，整体呈长方形，里面的图案是菱形八角花内接于六边形再通过平移的方式而成的，图5b是菱形八角花的抽象图，由图5a和图5b可知，在腰带中含有三角形、平行四边形、菱形、对称、旋转、全等、相似等几何元素。 （一）对称图形与几何变换

在朗洞苗族的挑花刺绣图案上，很容易在其中找到圆心，坐标轴无论是沿横向还是纵向折叠都是对称的。甚至许多图案不仅整个大的组合图案对称，而且大图案与小图案之间也是对称的。

服饰中的纹样分为单独纹样和连续纹样，单独纹样是指由一个独立的个体纹样的造型表现形式（图6），连续纹样是指由一个单独纹样向二方或四方连续复制而成的组合纹样（图8） [4]。

在朗洞苗族服饰中，单独纹饰的表现方式大都是轴对称纹样和中心对称纹样，构成方式也有相似或位似变换，相似是指形状相同的图形，而位似是指图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，即位似一定相似，但相似不一定位似。如图6是抽象化了的蝴蝶，它们不仅是轴对称图形，也是中心对称图形。图7和图8都是少女盛装围腰上的绣片，它们都是平绣，图7除了最里面的八角花，外面是由多个菱形纹以位似变换形式嵌套而成，菱形边则以连续回纹为基本纹样绣成，图8可看成由图7平移、对称复制而形成的连续纹样。

如图9，这是男子童装上的一块绣片，这块绣片中有抽象化了的蝴蝶、鸟、花、树，它含有丰富的几何元素，如：三角形、正方形、五边形、菱形、梯形、螺旋线、玫瑰线等，然后再由这些基本的图形通过连接、对称、组合又构成了基本的纹饰。这块绣片它不仅是轴对称图形，也是一个中心对称图形，除此之外还有平移、旋转和相似等几何变换。该纹饰反复使用点、线、面装饰手法，使图案的画面想象丰富，韵味十足，充分体现苗族的图案设计中节奏和韵律之美，也充分体现了数学的对称美与和谐美[5]。

图9 男童装绣片在朗洞苗族服饰中还含有几何变换：平移变换、旋转变换、轴对称变换。图10是朗洞苗族的象征物织锦“恋”，它是由菱形向内通过位似的形式嵌套形成菱形纹，然后由菱形纹通过平移得到一排花，而后再将这排花进行平移而得的（几何图示如图10a）；它也可看作是由菱形向内通过位似的形式嵌套形成菱形纹，而后再由一个菱形纹经过三次旋转后得到一朵大的菱形花，然后再将其进行旋转而得到的（几何图示如图10b）。

图10a “恋”几何图示一 图10b “恋”的几何图示二图11这种图案的白色部分是其主体，每一个图案是中心对称图形，它可看成是通过一个图案平移得到的。如图12，这种花不仅是轴对称图形，也是中心对称图形，通过平移可得到这一排花，也可以说是通过旋转180度而得到的。

图13的这块绣片来自胸兜，从整体来看很明显它是轴对称图形，对称轴是中间的折痕，并且它里面的小图案之间也是关于折痕对称的。 纵观以上绣片可发现朗洞苗族对菱形有着非常独特的喜爱，在服饰上菱形到处可见。从材料上来说，是因为苗族妇女们织的布的经纬度之间的距离不一样，而且朗洞苗族格外在乎对称，因此在绣制时为了保证菱形图案的完整与对称，妇女们在绣花时通常是通过数纱线来达到的。菱形不仅是轴对称图形，也是中心对称图形，对称美、旋转美都是数学美的一种表现形式，菱形让人从视觉上感受到了对称美。

（二）图案的周期性变化

在苗族的绣片中不仅具有强烈的对称性，而且周期性也很强，很多的绣片都是由一个图案经过平移、旋转、对称而得到的，而平移都是有一定的周期的。如图14是老人绑腿上的绣片，上面的绣片所用的针法是挑花，以“×”为基本单位，现在为了方便，将“×”看作一个点，则绣片中的主线（白线）部分可画成如图14a所示，建立平面直角坐标系如图14a所示。

图14 绑腿中的绣片 图14a 绑腿绣片主线几何图 一般地，在一个变化过程中，有两个变量x，y，如果给定一个x值，相应的就确定唯一的一个y，那么就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量，x的取值范围叫做这个函数的定义域，相应y的取值范围叫做函数的值域[6]。这是函数的定义，由函数的定义可知图14a是一个函数图像，设其函数表达式为y=f（x），且它的定义域是R，值域是[0，2]。由图14a可发现函数y=f（x）是由图中蓝色部分左右平移而得，并且之间的间隔为4，由周期函数的定义可知这是以4为周期的周期函数，即4是最小正周期。因而，绑腿的主线图案是一条以4为周期的周期函数图象，并且它的函数解析式为：

f（x）=x-4k，x∈（4k，4k+2）

-x+4k，x∈（4k-2，4k） ，k∈z.

在朗洞苗族的服饰中，花带（如图15）上的周期性很强，花带常捆绑于绑腿上，这样既可以防止绑腿脱落，而且可以作为一种装饰品，一般要围上小腿至少2圈，长度在1.2米左右，看个人的腿而定。图15是以前常见的花带，它是由基本图形“”平移而得的，周期为24，每经过24根线重复一遍。

除此之外，在胸围兜及其他花带上都含有丰富的周期性，很多绣片都是由某一个基本图案经过平移而得。

图15 绑腿中的花带 图16 幼年流苏穗子二、饰品“噶贞”中的数列关系

流苏穗子是朗洞苗族女装必备的装饰之物，苗语称为“噶贞”，它是成对出现的，系于后围腰上，款式没多大区别，但是大小与颜色却是随着年龄的不同而不同，常分有幼年、少女、中年和老年四个阶段。流苏穗子的制作过程是比较复杂的。首先，要单独的把下面的丝线编好，每种颜色都要有；同时做好上面的分支，尽量把分支做硬些，这是为了美观；然后用黑布做好包包来绕丝线，用针挑丝线，使它均匀、扎实，以免脱落。在这个过程中不管是哪道工序都是极其重要的。

小姑娘常戴月牙形（图16）的款式，介于小孩喜爱各种各样的图案，常見的是辫绣。如图16，上面是一个在椭圆的基础上剪成一个“W”的形状，它具有对称性，下面是由一些编好了的丝线连接而成的。

（一）“噶贞”中的等差数列

图17是少女戴的“噶贞”款式，颜色艳丽，较于儿童的来说要大些，并且结构上是一个树叉的形式，不再是月牙形。中年妇女的款式和少女的款式是一样，只是在颜色上会稍微暗淡些。图17a是图17中的一支，由图17a可得它的简图如图17b所示。

由图17b可知，从上至下来看，第一层的支点O分成1根枝干，第二层的支点A分成2根枝干，第三层支点B和支点C都分成3根枝干。

设第n层每支点分叉为an根枝干数列{an}，则

a1=1，a2=2，a3=3。

因为2=1+32，即a2=a1+a32。

则数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列。

（二）“噶贞”中的等比数列

图18是老年人戴的，它的颜色偏暗，主要由蓝色和紫色组成的，图18a是图18的一个简图，它的每层总支数从上至下呈1，2，4分布。

图18 老年“噶贞” 图18a 老年“噶贞”分支结构图 设第n层的总枝干数为数列{bn}，则

b1=1，b2=2，b3=4。

因为22=1×4，即b22=b1b3。

所以由等比数列的定义可知，数列{bn}呈等比数列。

圖19 “噶贞”包包图除此之外，流苏穗子还蕴含有其他的几何元素，由图19可见，下面的每一个包都是1个圆锥，由支点B、C分叉出来的的那3根枝干每2根之间呈相同的度数。同时流苏穗子还具有对称、平行等几何变换。

三、银饰造型的数学知识

朗洞苗族生活中常见的银饰有头饰、胸颈饰、衣饰、背饰、手饰这几种。朗洞苗族姑娘以前都喜穿胸围兜，在盛大节日跳芦笙舞时都要佩戴银背吊（如图20），苗语称为“扣”，“扣”连接胸围兜带，悬于背部，既可调节胸围兜的宽度，又可作为装饰品，常见的有两种，一种是平面螺旋状（如图21），一种是立体螺旋状（如图22）。

图21是一对扁螺旋“扣”，它是抽象化了的蝴蝶的形象，它不仅含有星形线、螺旋线等曲线，还含有对称、旋转等几何变换。

阿基米德螺旋线亦称为“等速螺线”，当一点p沿动射线op以等速率运动的同时该射线由以等角速度绕点o旋转点p的轨迹称为“阿基米德螺线” [7]。图21a是图21中的一个局部图，从中我们可发现这是一条阿基米德螺线，其标准极坐标方程可表示ρ=ρ0+aθ，其中ρ0是指当θ=0°时的极径，单位为mm；θ为极角，单位为度；a为阿基米德系数，单位为mm/度，表示每旋转1度时的极径的增加（或减小）量。

图21上的那朵花，它可近似看成是由1/8球分别切长方体的8个角而得到的，即是一个星形球体。如图21b，在长方体ABCD-EFGH中，经测量得AD=34 cm，AB=34 cm，AE=38 cm。其中M，N，P，Q，J分别是边BF，BC，AB，EF，FG的中点，为了求球的半径，将图中阴影部分平移到一起得到图21c。设球半径为r1，则由勾股定理有：

r21=（r1-1.7）2+1.92，

解得r1=1.912 cm≈1.9 cm。

因此，它可近似看成半径为19 cm的1/8球分别切长方体的8个角而得到的，这样不仅美观，还节约材料。

将被切去的部分拼凑到一起可近似看成一个球体，而

V球4π3r31=4π3×1.93≈28.72 cm3，

V长方体=3.8×3.4×3.4=43.93 cm3

则，V花=V长方体-V球=43.93-28.72=15.21 cm3。因此，扁银背吊上的这朵花的体积约为1521 cm3。

图21c “扣”花被切割部分的近似半圆（三）立体螺旋“扣”中的圆锥体

如图22，这是一对立体螺旋“扣”，它也是抽象化了的蝴蝶。牛角、蝴蝶都是苗族喜爱的图腾图案，它同样也含有圆锥体、星形线、螺旋线、圆、对称、垂直、旋转等数学知识。

在一对立体螺旋“扣”中有4个圆锥体，是抽象化了的牛角，这几个圆锥体实际上里面是空的，这样既表达了苗族人们对牛角的喜爱，也节约了材料。为了求得它的底面外半径，将其按在白纸上描线，沿边画成圆，在圆上任意画两条弦（不重合，也不平行），分别作它们的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即是圆心O，量得其半径，为了取得更为精确的值，采取多次操作，取它们的平均数最终得到底面大圆半径为r2=36 cm，高H=415 cm，母线L1=55 cm；内部小圆锥的底面半径为r3=32 cm，母线L2=51 cm，由勾股定理可求得内部的高h=396 cm，则有：

外圆锥的体积V1=13πr22H=13π×3.62×415≈56.29 cm3，

V长方体=3.8×3.4×3.4=43.93 cm3，

则，V花=V长方体-V球=43.98-28.72=1521 cm3。

因而立体螺旋“扣”中圆锥体的体积近似为1385 cm3。

类似于图22的那朵花也可看成是由1/8球分别切长方体的8个角而得到，只是此时的AD=48 cm， AB=48 cm， AE=56 cm，同理，算得球半径约为283 cm，从而此时花的体积约为3413 cm3。

四、结束语

在苗族的生活中，服饰、银饰、建筑是这个民族的代表物，它们都含有大量的数学文化。本文主要是对榕江县朗洞苗族的服饰、银饰两个方面进行研究，通过实地考察与查阅资料，结合个人经验及现有的数学文化知识水平来挖掘苗族自己的数学文化。通过调查研究发现，在朗洞苗族的服饰、银饰中都含有大量的代数与几何知识，如几何图形、几何变换、数列、周期性和阿基米德螺线等等。随着时代的进步，生活条件的改变，这里原生态文化遭到了一定程度的冲击，特别是在服饰上，传统服饰显得庄重、华丽、高贵，它代表着朗洞苗族，也是一种文化，随着时代的发展，朗洞苗族服饰变得好像更艳丽，但却显得比较浮夸，仿佛失去了以往的凝重，给人一种炫富的感觉，或许再过不了多久想找几件传统的衣服会是一件很困难的事情，但愿朗洞苗族服饰仍保持她独有的风韵。

参考文献：

[1] 肖绍菊，曾祥慧. 苗族妇女服饰文化中的几何元素[J]. 凯里学院学报，2008（6）：17-19.

[2] 李文明.千年短裙[M].北京：大众文艺出版社，2011.

[3] 范生娇，麻勇恒.苗族侗族文化概论[M].成都：电子科技大学出版社，2009.

[4] 申玉红，杨启祥，周长军. 云南德宏傣族服饰中的数学文化[J]. 数学教育学报，2013（1）：66-69.

[5] 肖绍菊. 苗族服饰的数学因素挖掘及其数学美[J]. 贵州民族研究，2008（6）：106-112.

[6] 詹国梁. 中学数学中的函数定义及其教学[J]. 苏州教育学院学报，1996（1）：13-15.

[7] 孙庆括. 巧合的割圆曲线与阿基米德螺线[J]. 中学数学杂，2011（1）：63-65.

Mathematical Culture in the Life of Miao People in

Langdong Town of Rongjiang County

JIANG Shihua，XIAO Shaoju，XIAO Lin

（School of Mathematical Sciences， Kaili University， Kaili， Guizhou， 556011， China）

Abstract： The researcher studied the mathematic elements in Miao people's clothes and silver ornaments in Langdong Town of Rongjiang County， and found that there were abundant of mathematical culture in the life of Miao people. For example a lot of plane geometry and algebraic knowledge containing the in clothing， ball， star line， Archimedes spiral， cone and other knowledge also in silver is reflected. Among these shapes， rhombus is especially loved by Miao people in Langdong Town.

Key words： mathematic culture； geometry knowledge； algebraic knowledge； rhombus