基于主元子空间的主动配电网量测设备关键配置位置识别

张林利 ，刘 洋 ，李立生 ，苏建军 ，谭培红

（1.国网山东省电力公司电力科学研究院，山东 济南 250003；2.山东理工大学 电气与电子工程学院，山东 淄博 255049）

0 引言

高渗透率分布式电源、储能系统以及电动汽车等可控负荷的接入，对传统电网的潮流分布、电能质量、继电保护和系统规划都产生了巨大的影响，促使原有单电源辐射状网络结构的传统配电网逐步向多电源弱环状拓扑结构的主动配电网ADN（Active Distribution Network）转变［1］，这种转变要求能够快速、准确地监测系统的实时运行状态，这使得实时监测变得越来越重要。为了适应这种变化，越来越多的量测设备被接入配电网，智能电表SM（Smart Meter）、同步相量测量单元PMU（Phasor Measurement Unit）、微型PMU等量测单元在配电网中的应用也得到了关注［2-4］。

由于PMU或微型PMU的成本高，从经济性和工程可行性角度而言其都无法在系统中实现全面配置，因此如何实现PMU的优化配置成为了一个研究热点，目前已有许多研究成果。文献［5］考虑电动汽车和光伏的不确定性，结合加权最小二乘和自适应协方差矩阵优化策略得到量测最优配置。文献［6］考虑了测量冗余度和状态估计的精度，利用改进的遗传模拟退火算法实现了PMU的优化配置。文献［7］利用拓扑约束分析方法，采用改进的遗传算法实现了PMU的优化配置。文献［8］以投资成本最小和全局状态估计不确定性有界为目标，通过随机优化实现了PMU配置。上述研究大多都是在一定约束条件下通过优化算法或智能算法来实现优化配置，而且隐含了对系统具有完备先验知识的假设。然而主动配电网具有拓扑结构灵活、系统不确定性强的特点，即研究者或电网操作人员往往缺乏必要的先验知识，那么如何在先验知识缺乏的情况下实现优化配置成为了量测设备配置须解决的关键问题之一。

另一方面，实时监测的需求使得各种量测设备在主动配电网中大量配置，产生了海量的高维量测数据。虽然不是所有的量测数据中都包含反映系统特征的信息，但对这些数据进行分析就可在缺乏先验知识的情况下获得表征系统运行特性的关键信息［9］。量测设备优化配置问题就转变成如何从量测数据中提取反映系统特征的关键信息并依据该信息完成对系统关键节点识别的问题。

主元分析 PCA（Principal Component Analysis）是一种信息提取、特征判别的有效方法，并在电力系统的孤岛监测［10-11］、干扰检测与消除［12-13］、广域测量［14］等方面得到成功应用。通过PCA方法可以将高维量测数据分别映射到2个正交的低维子空间中，即主元子空间 PCS（Principal Component Subspace）和残差子空间RS（Residual Subspace）。通过这种方式实现量测数据的特征提取和监测变量间关联特性的消除。目前PCA在电力系统中的应用主要侧重于故障监测与配电自动化，其主要是利用残差子空间对故障特征进行分析与判别。但就笔者的知识面而言，还未见到PCA或其他多元统计方法在量测设备优化配置方面的应用和研究成果。而在利用PCA时，数据在主元子空间的映射舍弃了残差，保留了变量数据中表征系统特征的最大信息要素，因此根据主元子空间中变量对监测统计量影响程度的分析就可实现对系统中关键变量或关键节点的识别。

本文将多元统计监测方法引入主动配电网量测配置领域，使用PCA方法分析量测数据，通过对监测变量的重构和统计量的改进，将节点重构贡献率和节点相对贡献率应用于量测关键位置的识别，最后结合配网标准算例讨论其结果。

1 关键位置识别方法

1.1 PCA的基本原理

设系统需监测m个变量，每个变量具有n个量测值，这就构成了系统运行监测矩阵ϵRn×m，由于监测矩阵包含不同类型、不同数量级、不同含义的数据，因此为了最大限度地保留初始矩阵中各指标数值的特征信息，采用文献［15］中的方法对进行标准化，即：

然后对标准化后的矩阵X进行分解可以得到：

其中，U为正交矩阵；VϵRm×m为X的对称关联矩阵；D 为矩阵 V 的特征值 λi（i=1，2，…，m）所构成的对角矩阵且满足λ1≥λ2≥…≥λm。特征值λi表征了在主元变换过程中每个变量所保留信息量的程度，即主元的采样方差。主元矩阵PϵRm×n可表示为：

其中，矩阵 Q 的列［q1，q2，…，qm］T是与关联矩阵 V的特征值相对应的特征向量矩阵，矩阵中qi为与特征值 λi相对应的特征向量；为 X 的均值［16］。 主元矩阵P的每一行为所求主元，其特征向量为：

其中，fi为与第i个特征值对应的特征向量。

那么第i个主元的方差贡献率为：

累计方差贡献率为：

在主元子空间中建立的模型保留了变量数据中表征系统特征的最大信息，一般使用Hotelling T2统计量对主元子空间中的变量进行监测。随着系统指标（电压、负荷等）的波动，如果T2统计量超过限定值，表明构成子空间的主元对系统指标波动敏感，即构成该主元的变量对系统运行状态变化的贡献度大。

T2统计量及其限值分别定义如下［17］：

其中，x为监测数据；P为主元矩阵；Λ为主元特征值所构成的对角矩阵；K为选取的主元数量；表示自由度为K的卡方分布。

1.2 贡献图节点识别方法

贡献图法在故障监测领域尤其是故障诊断方面起到重要作用。贡献图法识别的依据是高贡献率变量对系统波动起主要作用，可通过计算每个变量对监测统计量的贡献率来构造贡献图。式（7）可改写为如下二次形式：

那么第i个变量xi对T2统计量的贡献率为：

其中，ζj为与第i个变量相对应的列向量，其元素如式（11）所示。

即：对于一个含有4个变量的系统而言，第2个变量对应的列向量为 S2=［0，1，0，0］T。

由于计算贡献率时存在扩散效应，即一个变量的波动会影响其他变量对于统计量的贡献率［18］，因此本文依据变量重构的思想［19］，沿系统指标波动方向重构监测变量为：

重构后，T2统计量可以表示为：

令式（13）对ϑi求导且等于0，可以得到：

进而有式（15）成立。

其中，ξj=Pζj。

将式（15）代入式（12）得到：

将式（16）代入式（13）整理得到：

变量xi对T2统计量的重构贡献率可表示为：

其中，ρii为 PTΛ-1P 的第 i个对角元素。 式（17）和式（18）表明了变量xi重构贡献率对T2统计量的影响程度，可看出重构贡献率越大，该变量在系统指标波动方向上对指标变化的贡献越大，而高贡献率节点就是表征系统特征的关键节点。

重构贡献率的控制限为：

其中，S为数据矩阵X的协方差矩阵。

与传统统计量相似，所有变量的重构贡献统计量为各变量重构贡献统计量之和，即：

重构统计量的控制限为各变量重构贡献率的控制限之和，即：

第k个节点的贡献率为该节点所对应的所有变量重构贡献率之和，即：

其中，l为第k个节点处所监测变量的个数。

依据文献［20］中所定义的变量对统计量的贡献控制限，本文中节点重构贡献控制限为：

其中，μ和s分别为贡献率的均值和标准差。

利用节点对T2统计量的相对贡献（式（24））来识别关键节点。如果相对贡献率大于1，则说明该节点上所监测变量对指标波动的综合贡献率大，即为关键节点。

基于主元子空间识别方法进行量测设备关键配置位置识别的具体步骤如下。

a.利用系统以基准负荷运行时的变量监测数据建立初始样本矩阵。

b.根据式（1）对样本矩阵进行标准化，可得到标准化后的矩阵X，并利用奇异值分解获得特征值对角矩阵D和特征向量矩阵Q。

c.按式（5）计算主元方差贡献率，并计算累计方差贡献率。为了保证计算的精度，一般选择累计方差贡献率CVE≥0.995，从而确定应选取的主元个数。

d.对系统运行数据X进行监测，根据式（20）计算监测变量xi对T2统计量的重构贡献率

e.利用式（24）计算节点对T2的相对贡献率。判断相对贡献率是否大于1。如果Conrel>1，则该节点为关键节点。

需要说明的是：本文所给出的识别流程也可用于实现对某一系统指标（如电压）最佳观测点的识别。这不是本文的研究范围，因此不再详细讲述。

2 算例分析

利用IEEE 69节点配电系统对所提方法的性能进行验证。IEEE 69节点系统是PG&E配电系统的一部分，它由7条分支线路、5个联络开关、69个分段开关以及74条线路、53个负荷、1个电源构成。网络首段基准电压为12.66kV，系统总有功负荷为3802.19 kW，总无功负荷为2694.60 kvar。IEEE 69节点系统如图1所示。

图1 IEEE 69节点配电系统Fig.1 IEEE 69-bus distribution system

IEEE 69节点系统线路的具体参数参见文献［21］。本文研究中，系统接入6个光伏，容量及位置如下：母线16处200 kW，母线23处250 kW，母线36处250kW，母线48处300kW，母线50处250kW，母线65处300 kW。

假设系统运行时的基准负荷为总负荷的75%，最小负荷与峰值负荷分别为总负荷的45%和100%，则最小负荷和峰值负荷分别为基准负荷的60%和133%。正常运行时，负荷在基准负荷±40%范围内波动，这样最小负荷和最大负荷均被包含在波动范围内。本文使用PSAT进行潮流仿真，共监测340个变量，包括有功潮流和无功潮流、光伏的有功潮流和无功潮流以及所有节点的电压幅值和相角，每个变量生成1506个观测值。使用MATLAB对获得的数据进行标准化处理，然后使用PCA对数据进行分析，通过奇异值分解得到数据矩阵的特征值。按照对变量累计方差贡献率的设定，保留前7个主元。前10个主元的方差贡献率与累计方差贡献率如表1所示。

表1 前10个主元贡献率Table 1 Contribution rate of top 10 principal components

从表1可以看出，第1个主元的方差贡献率达到79.9985%，而所保留的前7个主元总的累计方差贡献率达到99.5070%，即前7个主元包含了反映系统状态特征的绝大部分信息。然后使用贡献图法对节点的相对贡献率进行判别，节点对T2统计量的相对贡献率如图2所示。

图2（a）为本文方法得到的节点相对贡献率，图2（b）为传统PCA方法所得到的节点相对贡献率。通过判断节点对T2统计量的相对贡献率是否大于1可知，传统PCA方法识别出28个关键节点，而本文所提方法确定出41个关键节点：5，8—10，12—21，23—27，29，31，36，37，39，41，43，44，46—50，52，55，58，60，62—66。

图2 节点相对贡献率Fig.2 Relative contribution degree of nodes

为了验证在IEEE 69节点系统所确定的关键节点上配置量测设备的监测能力，设定负荷水平分别为0.2、0.3、0.4、1.5、1.6、1.7 这 6 个场景。 由于系统运行时母线电压幅值是一个考核系统是否安全运行的重要指标，因此在6个场景中对各个节点电压幅值进行监测。电压幅值的正常波动范围为0.9～1.1 p.u.。本文研究中只监测各节点电压是否越限，而不考虑其他因素。为了说明关键节点的监测能力，定义关键节点对电压越限的识别率为关键节点识别的电压越限节点数与实际电压越限节点数之比。6个场景的监测结果如表2所示。

表2 6个场景的监测结果Table 2 Monitoring results of six scenes

由表2可以看出，传统PCA方法电压越限的识别率最高只有80%，而本文所提方法的电压越限识别率均高于75%。根据图2和表2可以看出，尽管传统PCA方法识别出的节点数目比本文所提方法识别出的节点少13个，但综合6个场景的监测结果可知，传统PCA方法的平均识别率只有65.672%，而本文所提方法的平均识别率为89.025%。两者之间的差异在于传统PCA方法利用贡献图法进行识别时，扩散效应使得变量之间相互影响，从而削弱了节点对系统指标波动的敏感性。而本文方法通过在系统指标波动方向上进行变量重构，增强了监测变量在波动方向上的敏感性，同时也减小了扩散效应的作用。

3 结论

a.所提识别方法不需要完备先验知识，通过重构量测变量和计算节点对T2统计量的相对贡献率实现了对关键位置的识别。

b.节点重构贡献率综合了同一节点上不同变量重构贡献率的影响；相对贡献率避免了控制限的不同对识别结果的影响。

c.本文方法识别出的关键节点数只为总节点数的59%，减少了所需量测节点的数量，进而降低了所需处理的数据量，且能达到电压越限的平均识别率。

d.主元构成所需量测变量的系数均不为0，系数的大小对于变量对主元构成的作用是否一致、主元构成对识别准确度是否有影响将是笔者下一步的研究重点。

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