高中数学函数绝对值不等式的解题策略研究

刘玲

高中是数学学习的关键时期，在这个阶段，开阔学生对于一些难点问题的解题思路是刻不容缓的。一旦开阔了数学的解题思路，就可以由老师在黑板上枯燥的讲解，变成学生自主的研究学习数学，让学生充满了对于学习这门学科的兴趣，能有效影响学生的学习态度。学生真正掌握到了学习方法，真正的获得了知识，也就能形成善于发现问题、提出问题、努力解决问题，最后加以总结的学习方法与能力。本文主要围绕函数绝对值不等式的解题策略进行研究，主要以不等式|x|<1的解法为例，此外还选取了一些经典问题和解法，作为典型案例进行研究，并提出了几种关于解绝对值不等式函数的常用思路，希望能帮助高中生快速学习并熟练掌握绝对值不等式。

一、两边同时平方来解题

两边同时平方，从而去掉绝对值符号可说是解决绝对值不等式的最简便的方法。如在解答不等式|x|<1时，可以对不等式两边同时平方，得x2<1，即x2-1<0，得出（x+1）（x-1）<0，最后的结果就为-1

又比如在解不等式|x-9|<|x-1|时，因为不等式的两边都是单一的绝对值，都大于等于0，所以可以对不等式的两边同时进行平方。

得到|x-9|<|x-1|→（x-9）2<（x-1）2，两边求解，解得x>5。

二、运用绝对值的几何意义来解题

运用这种方法进行解题，首先就要明确绝对值几何意义的定义。绝對值的几何意义表示在数轴上数与数之间的距离。如：|b-a|表示数轴上数b到数a的距离，当a为0时，|b-a|=|b-0|。这个式子就表示数b到原点的距离，这就是它的几何意义。了解了这个之后，你的脑海中要浮现出象征绝对值几何意义的图形，使要解决的问题从生硬的文字变为直观的图像，这样解决问题能够更为简单化。要解不等式|x|<1，就要了解它的解集就等于到原点的距离小于1的点的集合，这样就能轻松的得出答案：不等式|x|<1的解集为{x|-1

以求关于x的不等式|x-1|≤5的解集为例，可以结合绝对值不等式的定义，先去掉绝对值符号，化成一般的不等式，再进行求解。

得到|x-1|≤5→-5≤x-1≤5，最终求出原不等式的解集为{x|-4≤x≤6}。

三、运用函数图象来解题

可以说，绝对值函数的图象是研究绝对值函数问题的基础。只要掌握绝对值函数的图像和性质，在解题时可以达到事半功倍的效果。因此，可以运用数形结合法思分析和解决问题。其中，有几点要特别注意。第一，要弄清绝对值不等式的概念以及它在运算时会运用到的几何意义，对题目中所给的条件和结论进行仔细的分析。接下来，根据题目画出对应的图形，设置恰当的参数，使解题更为轻松。最后，经过仔细思考，正确设定参数的取值范围，完成解答。以不等式|x|<1的解法为例，可以这样进行思考：不等式|x|<1的解集可以表示成函数y=|x|的图象在函数y=1的图象下方所对应的x的取值。所以，不等式|x|<1的解集为{x|-1

四、运用分类讨论来解题

分类讨论，即利用定义去掉绝对值的符号。分类讨论之后，问题更加明晰，富有条理，也就更易于解答了。绝对值函数问题，无疑是分类讨论方法的一项重要运用。将数学问题中的对象分为不同种类，接着对划分出的每一类分别进行研究和解答，达到“化整为零，化难为易，各个击破”的效果。当然，这也要求同学们具有一定的分类思考能力，富有创新和探究意识，能够从综合的方面来看待问题。在解答不等式|x|<1时，就可以运用分类讨论的思想，当x≥0时，原不等式可化为x<1，得出0≤x<1，而当x<0时，原不等式可化为-x<1，即x>-1，得出-15为例，它含有多个绝对值，这时可以采用零点分段的分类讨论法进行解答，对自变量进行分类。令x2-4=0，x+3=0解得零点分别为-3，-2 ，2。

第一种情况是：

第二种情况是：

第三种情况是：

第四种情况是：

综上得出：x<-3或-12。

所以不等式的解集为{x| x<-3或-12}。

要解决绝对值不等式函数的问题，可以运用多种方法来进行解答。解题的方法决不只局限于上文所提到的四种，还存在着其他优秀的解题方法。不仅要根据题型善于运用正确的解题方法，以免事倍功半，还要善于运用自己习惯的方法，这样解题会来的更为顺手。当然，即使不擅长，也不能留有死角——不会的解题方法，要做到无懈可击。做到以上几点，相信在函数绝对值不等式的解题方面可以得到新的思路。

（作者单位：湖北省襄阳东风中学）