用数学知识设计一个镂空的花瓶

郑祥+谢作如

制作一个镂空花瓶的想法，最初源于学校开设瓯窑课程的蒋老师。他想做一个瓶身由扭转的柱子构成，看起来特别有创意和艺术感的花瓶，如图1所示。但是，这种扭转的柱子结构很难用手捏出来，即使捏出来了一时半会儿也很难定型，只能通过灌浆法向模具中灌浆来完成定型。于是，他希望我们能用创客空间里的3D打印机来制作模具。但由于当时的3D建模水平比较弱，我们觉得没法做出这种扭曲旋转的效果，只好放弃了。直到现在看到了IME3D提供的3D程序员软件，才想到了解决的方案。

创意分析

一个瓶身由柱子扭转而成的镂空花瓶，主要由底盘和瓶身两个部分组成。其中，瓶身是由多根柱子扭转而成的，“如何让这些柱子均匀地分布在底盘（圆形）的边缘”成了这个想法能否实现的关键，而在3D建模中柱子与底盘的位置关系用平面坐标（x，y）就可确定，要想确定柱子的平面坐标（x，y）就需要一定的数学知识的支持。

3D程序员软件是一款用代码编程的形式来实现三维建模的软件，支持以各种数学公式生成模型的方式。只要找到柱子旋转的规律，就能用一个循环来批量生成旋转的柱子，从而实现这个花瓶的建模。3D程序员学习版的下载地址是http：//www.ime3d.com/。

数学分析

设定底盘的半径为30，柱子的平面坐标为（x，y），柱子的数量为16根，可考虑从以下几方面思考问题。

思路一：通过圆的函数公式来寻找柱子的平面坐标（x，y）

圆的函数公式是（x-a）2+（y-b）2=r2，由于模型的中心位置为原点（0，0），因此该圆的公式可以简化为x2+y2=r2。设定底盘的半径为30，则x的范围为[-30，30]，y坐标则可用x来表示，y=。

然而，思路一中根据x坐标无法简单有效地实现柱子在底盘上的均匀分布，如上页图2圆的函数曲线所示，因此放弃思路一。

思路二：通过角度来确定柱子的平面坐标（x，y）

要实现柱子在底盘上位置的均匀分布，其实就是在底盘上进行16等分，而这16个坐标位置则可以用角度θ来表示。通过三角函数即可得出柱子的横坐标x=rcosθ，纵坐标y=rsinθ，r为底盘的半径，θ的范围是[0，360]，如图3所示。

按照思路二的分析，在编程过程中代表角度的循环变量θ的变化范围是0至360度，步长为22.5（即360/16）度，柱子的平面坐标为（rcosθ，rsinθ），r=30。

编程实现

按照以上分析进行编程建模，采用的建模软件为3D程序员。

步骤一：创建半径为30，高度为3的底盤

模型拉伸的模型居中属性设为：不居中，制作花瓶底盘的效果如图4所示。

步骤二：通过循环模块确定16根柱子的平面坐标

根据数学分析中的思路二，可以确定循环模块的几个参数设置，循环变量θ的变化范围：0～360，循环步长：22.5（即360/16）度，16根柱子所在平面上的坐标公式：（rcosθ，rsinθ），半径r：30。

以下是通过以上参数，设置的寻找16根柱子坐标的编程脚本，柱子截面以圆形为例，编程确定16根柱子的平面坐标具体设置如图5所示。

步骤三：通过高级拉伸模块完成对16根柱子的扭曲拉伸

通过编程脚本中的循环模块确定16根柱子的平面坐标后，就可通过高级拉伸模块完成这16根柱子的添加。

高级拉伸模块的属性设置可自行调整，高级拉伸制作螺旋结构的瓶身的设置如图6所示。

步骤四：通过布尔合并完成底盘和瓶身的合并，如图7所示。

步骤五：修改参数，调整模型

根据生成模型的外观，适当地进行调整，如将底盘半径适当扩大为32，效果如图8所示。

拓展升级

以上是利用三角函数和圆轨迹的关系，制作瓶身螺旋结构的花瓶的基本过程。除此之外，可以对模型的高度层数、扭曲角度，以及循环体中的循环步长等参数进行设置，可以调整出不同的效果。其中，高度层数的参数设置为1～5，会展现不同的拉伸效果，而循环步长则可以改柱子的数量。

图9的3D模型是不是很像一个艺术花瓶，其高度层数为4。这个螺旋花瓶的脚本代码如图10所示。不过，学生说这不像花瓶，倒像果篮，也有学生说这是一个艺术垃圾桶。但不管如何，这种有规律的模型结构，很适合用3D程序员来实现。

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