金融数学技巧在期权定价中的应用

段玉洁+郭蓉

【摘要】金融数学是随着金融学的发展而逐渐兴起来的学科，有效结合了随机分析、概率统计学以及泛函分析等数学知识对金融投资领域中的风险与收益的评估提供了科学的数学分析结论，从而得出最佳的投资策略。期权在金融市场中具有重要的地位，在期权定价中运用金融数学的知识能够加强对期权收益与风险的评估从而促进金融学的的发展。

【关键词】金融数学 期权定价 B-S模型 投资风险

一、计量技术与金融数学的发展概况

（一）计量技术与计量经济学的发展

在经济学与金融学的发展过程中大量运用到了定量技术对金融现象进行逻辑化地推理。数学具有逻辑性性以及精确的特点，能够对金融问题与经济现象进行量化的分析。但是经济问题是处在一直的变化之中的，人的行为活动以及心理思维方式对经济的运行具有重要的影响，因此无法用精准的数量指标进行描述，所以，金融数学的运用是在一定的程度与假设基础之上的分析，对经济行为主体来说只能作为决策时的参考依据，这也是现代计量经济学进行定性与定量分析的出发点。

（二）金融数学的发展

金融市场自成立以来其运行就伴随着高收益与高风险的特点，因此各个国家的金融投资者一直在探索如何对金融投资过程中伴随的金融风险进行有效地评估以及如何对期权的价格进行定位。在这种背景下金融数学应运而生，在经济学以及金融学中运用数学知识，建立金融数学模型能够对投资风险进行有效地评估进而对期权价格的制定采用了有效的方式，这在国际金融领域对金融投资市场的分析与预测以及实时的监控能够起到重要的作用，有利的促进了金融市场的发展。

二、期权与期权理论概况

（一）期权理论的产生

期权是金融行业在发展过程中的随着现实经济状况的出现而产生的一种衍生品，是金融交易市场上重要的交易工具，能够对未来可能发生的风险进行有效地规避，同时还可以进行投资，产生收益。期权的出现是金融交易市场上的重大变革，人们可以对现代还为发生的状况进行投资与预测。

（二）期权定价理论的产生

在期权交易中的关键性环节就是期权价格的交易。在期权合约中，期权价格随着市场供求的变化而随时发生变化，期权价格的情况与交易双方利益的分配情况息息相关。因此对于期权定价理论的研究在金融学以及计量经济学方面具有重要的研究价值。

关于期权定价的理论研究分为完全金融市场下的期权定价理论与不完全金融市场下的期权定价理论两种。如果假设金融市场是完全的，各种经济因素的发生都能够考虑在内并且预测到其发展变化那么相关期权定价理论就是固定的。但是在现实情况下，完全的金融市场几乎是不可能存在的。例如股票期权的价格就时刻受到股票价格的波动率影响与无风险收益率的影响。因此期权定价理论的研究是以不完全金融市场为条件。

三、期权定价方法

随着国家之间经济联系的逐渐加深，各种金融衍生品不断出现，对期权问题进行合理地定价一直是国际金融市场发展的重点问题。随着信息技术的突飞猛进地发展与应用，借助于先进的计算机与与通讯科技，关于期权定价的公式与模型应运而生。

1973年是期权理论与期权定价理论具有标志意义的一年，在这一年，Fisher Black与Myron Scholes共同做出了关于连续时间的期权定价理论，即B-S期权定价模型，这是世界上第一个完整的得到公认的期权定价模型。随着这一模型的提出，德克萨斯电子仪器公司据此模型有效计算期权价格的计算器，这一计算器一经推出便在各大金融公司得到了推广，对金融交易以及期权定价做出了历史性的贡献。直至今天，不少投资银行、金融从业者股票交易员以及期权交易员仍然在使用B-S模型，衍生工具的更新促使了国际金融交易市场效率的提高，同时也提高了全球交易市场的变化性。

三年以后，Rubisentin做出了关于二项式分布的针对间断时间的期权定价理论，该理论以期权定价数值法作为基础，研究重点放在了美式期权定价问题上。这两大理论的产生极为有利地促进了国际金融衍生品的大量出现与发展，在各个行业包括财务管理中都得到了推广。

四、B-S定价模型

其中主要的定价方法是Black-Schole定价模型、二项式定价方法、风险中定期权定价方式以及鞅定价方式。

B-S定价模型的假设条件有五个：第一是标的资产价格呈对数正态分布形式；第二是在期权失效之前，金融资产收益的变量以及无风险利率都是固定不变的；第三是假设金融交易市场没有交易成本以及税收成本；第四是在期权的有效时间之内金融资产没有其他收益包括红利所得，这一假设随着现实状况的发展后来被废除；第五是不可以在期权日之前提前行使权利，这是欧式期权的特性。

Black与Scholes有效结合无套利分析技术，得出了不含红利收入的股票的相关衍生证券产品的价格f应当满足的Black_Scholes微分方程：

■+rS■+■σ■S■■=rf

之后Black和Schole两人又根据前期所推导的微分方程得到如下的期权定价公式：

f=SN（d■）-Xe■N（d■）

d■=■

d■=d■-σ■

B-S定价模型源于对冲证券组合中的有关思想。期权投资者在进行投资时为了对投资报酬进行有效评估在期权与期权标的股票之间建立有效的组合。投资者能够得到的确定报酬是随着无风险利率同时产生的，期权的这一理论与无套利定价理论相似。无套利定价理论的核心思想是投资收益是与投资金额相对应的，投入多少资金就会产生与投资面临的风险相对应的平均回报。根据B-S定价理论，期权定价就是一种无套利定价。

我国的金融交易市场发展历史有限，资本市场与金融交易体制不够完善，与国际成熟资本市场相比存在着较大的差距，随着全球化的与跨国公司的发展，各国之间的经济联系逐渐加深，没有哪个国家可以独善其身，因此中国应当不断完善资本交易市场，促进汇兑制度的发展，同时加强对规避风险的金融衍生品的研究，因此期权定价理论的研究对我国的金融市场具有重大的意义。

五、结束语

随着各种金融衍生品的出现，金融市场的发展越来越复杂，因此需要对金融投资过程中的风险进行有效地评估，金融数学以及计量经济学理论被应用到金融学领域，期权定价理论应运而生，Black-Scholes期权定价模型是期权定价理论中的重要理论，极为有利地促进了期货交易市场以及金融领域的发展，带动了金融市场的巨大变革，被广泛地应用在财務以及非财务领域中进行价格的制定以及风险评估方面，因此加强对期权定价理论的研究具有重要的意义。

参考文献

[1]李阳.如何运用金融数学技巧进行期权定价[J].东方企业文化，2015（19）.

[2]张利娜.保险精算方法在期权定价中的应用与研究[D].陕西师范大学，2008.