图式理论在高中数学教学中的应用探究

常勇

[摘 要] 在数学教学中应用图式理论，不仅能够激发学生学习数学的兴趣，而且能够使思维清晰化、知识条件化和结构动态化. 本文在分析基于图式理论下的高中数学教学原则的基础上，提出了基于图式理论下的高中数学教学策略.

[关键词] 高中数学；图式理论；原则；策略

作为认知心理研究的重要方面，图示理论是一种研究人的知识是怎样表征的，该理论认为单元、构成“组块”以及组成系统是人脑中储存知识的形式，其实质是一种关于知识的认知模式. 随着升学压力的增大，教师常常弱化了概念性的知识而过度地强化程序性的知识，致使学生知其然，而不知其所以然，未能真正地理解数学知识，然而图式理论的应用，不仅能够激发学生学习数学的兴趣，而且能够使思维清晰化、知识条件化和结构動态化. 因此，在高中数学教学中应用图示理论具有十分重要的意义.

基于图式理论下的高中数学教学原则

1. 层次性原则

数学是一门逻辑性很强的学科.在具体教学过程中，教师应了解学生已有的数学图式，遵循教学和数学知识本身的逻辑，先讲哪个知识点，后讲哪个知识点，注重图式理论应用的层次性原则. 同时，教学内容要符合学生的认知经验和认知水平，新旧知识之间的联系点是什么？学生已经具备了哪些数学活动经验？只有充分掌握了这些知识，才能取得良好的教学效果.

以人教版高中数学为例，笔者在讲授“集合”这节课时，面对的是刚刚升入高中、处于“适应”阶段的学生，心理上对高中数学存在着恐惧. 从知识层面上分析，学生已经基本掌握了分类讨论思想，学习了数的分类、三角形的分类等，这些知识所蕴含的数学知识与即将学习的集合知识密切相关，要引导学生调动已有的图式，进一步帮助学生理解新的知识点，帮助学生建立新的数学图式.

2. 过程性原则

现代教学理念认为，学生是学习的主体.在具体教学过程中，通过动手实验、小组交流、自主学习等方式，克服学生表面参与、一团和气的现象，彻底把课堂还给学生. 要从图式化教学模式出发、从学生的角度出发，帮助学生建立和扩充自己的知识框架，真正达到内化知识、理解知识的目的. 以人教版高二数学“随机事件的概率”课程教授为例，如果直接给出概率的性质，学生即使能够正确掌握其性质，但也会产生怀疑，如果通过学生自己抛掷硬币的方法得到相应的判定性质，让学生亲自参与和感受定会更加牢固.

3. 有效性原则

教案是教师的必备工具，是课前撰写好为课堂教学服务的，但未必对课堂上发生的所有事情都有所预料，因此，教师在具体教学中因充分调动学生有效的图式，对于发生的突发情境，应及时改变教学策略，全面提升学生的基本知识和技能. 例如，在讲授立体几何时，按照教案笔者应先介绍球体的形状，但通过提问学生对球体的形状已经充分掌握，此时，教师应改变教学策略，将其重点放置在球体的性质上.

基于图式理论下的高中数学教学策略

1. 充分发挥学生的已有图式？摇

高中学生已经积累了一定量的数学图式，在具体教学实践中，教师应全面了解学生的已有图式，善于运用学生熟悉的生活场景和已有的知识结构设计教学活动，使学生更易理解概念、公式以及定理成立的条件. 例如，很多学生对于实数的绝对值和平面向量的模常常混淆，笔者通过错误案例的分析，引导学生比较几何意义和代数形式之间的区别，即绝对值是数轴上的点到原点之间的距离，模是在坐标平面内平面向量对应的点到原点之间的距离，使学生充分理解a=是a=的延伸，是一维向二维转变的必然趋势.

2. 注重图式的练习训练

众所周知，罗马不是一日建成的，对于图式的建构需要一定量的实践和积累才能实现，并且当前大多数学生只听老师的讲解，缺乏相关习题的训练. 因此，教师要注重图式的变式练习和变式训练，最大限度地让学生感知不同题目程序性知识的异同，亲自经历相关题目的解答过程，提高图式建构的质量. 值得说明的是，图式的练习训练并不是让学生进行“题海战术”，并不是大量地记忆解题的过程和步骤，而是引导学生形成分析、归纳的数学习惯，让学生在做题过程中提取相似的知识和方法，积极主动地掌握数学的内在规律，从而帮助学生丰富和形成新的图式.

例如，在讲解等比数列知识时，笔者给出了以下题目并设计相关变式题目进行训练.

已知数列a1=1，an=2an-1，求出数列{an}的通项公式.

变式1：已知数列a1=1，an=2an-1+1，①求出数列{an}的通项公式；②求证：{an+1}是等比数列.

变式2：已知数列a1=1，an=λan-1+μ，求出数列{an}的通项公式.

变式3：已知数列a1=1，an=2an-1+2n，求出数列{an}的通项公式.

变式4：已知数列a1=1，anan-1+2（n-1）·an-nan-1=0，求出数列{an}的通项公式.

同时，加强练习过程中的指导，如果学生自主学习过程中得出的结论不正确，这样学生可能会将错误的方法和答案构建到自己的图式中. 因此，教师在讲解题目时，通过同时呈现图式的正例和反例，使学生能够辨别两者的不同之处，对于易发生错误的地方进行着重强调，从而形成对问题和知识的完整性结构认识，形成有效的图式.

例如，笔者在章节复习提高课时，遇到了这样一个题目：

已知-1

对于此题，大多数学生通常采用如下的解法.

由已知条件，-1

①②两式相加，可得

①②两式相减，可得-

所以，-<2x-3y<，显然此题按照此法无法得知答案，甚至有学生理直气壮地断言该题本身存在着错误或没有答案.

笔者在得知学生的这种做法后，并没有及时给予学生解释，而是引导学生应用线性规划的方法进行求解.

在坐标系中画出-1

当目标函数2x-3y经过点B（1，-2）时取得最大值，最大值z=2×1-3×（-2）=8，当目标函数2x-3y经过点A（3，1）时取得最小值，最小值z=2×3-3×1=3，对于这两种解法，为什么会得出不一样的结果？此时，学生非常迷惑，笔者以此为契机，提醒学生解答不等式时该注意哪些事项，第二种线性规划的解法给我们带来了那些启示. 最后，引导学生自主思考和总结，不断补充和完善自己的不等式图式.

3. 创造良好的课堂氛围

学习兴趣是学生学习动机的重要组成部分，对于图式的构建具有不可替代的作用，因此，教師应将学生接受知识的意愿和学生的学习紧密地结合起来.通常情况下，学生产生学习的兴趣主要与以下几个方面密切相关：一是符合自己的能力；二是学生关注或好奇的事情；三是通过自己的努力一定能够获得成功；四是自己内心抱有成功想法的事情. 因此，教师从以上几个方面入手，努力改善学生的数学学习.

一是注重生生和师生之间的交流.生生之间的交流既可以帮助迷惑的学生找到问题的答案，而且更为重要的是无形中完善自己的图式；二是建立和谐的师生关系，营造出一种有利于图式构建的环境；三是扩大数学活动的范围，通过开展数学辩论会、举办数学讲座等方式激发学生学习数学的兴趣，促进图式的有效构建.

4. 加强有意义结构的数学问题图式教学

完整的问题图式具有良好的联想和预测功能，在高中数学教学中，应培养学生敏锐的观察力，充分挖掘题目中所隐含的初始条件，为问题的高效解决提供一种新的方法、策略和思路. 同时，加强数学结构图式的应用，指导学生将已经建立的图式合理地转化为适用条件、结构特征等具体的问题图式，形成大量有意义结构图式，从而达到解题方法的最优化.

例如，笔者在指导学生解答函数f（θ）=的最值问题时，大部分学生能够迅速识别出问题的本质，利用三角法进行解决，但这种做法费时费力，若将该函数看作是以sinθ、cosθ为变量的函数，则可以将原式看作是经过（sinθ，cosθ）、（1，2）两点的直线斜率公式这一图式，则问题迅速地转化为圆到点（1，2）之间的最值问题，这种解法不仅简单易行，而且促进学生认知结构不断完善.

综上所述，高中数学中应用图式对于教师的教和学生的学具有十分重要的作用，它存在于学生的长期记忆中，是关于知识的表征，并且能够通过思维活动的方式表现出来. 因此，在高中数学教学中，教师应最大限度地帮助学生不断建立和完善数学图式，不断提高学生的数学素质.