高中数学教学中“预习”的若干思考

彭慧

[摘 要] “预习”是课堂教学的重要先导部分. 实践表明，成功的“预习”有助于课堂教学效益的提升. 本文以高中数学为探究的载体，从高中数学教学中的“预习”环节出发，从三个方面阐述“预习”设置的具体手段与策略，以飨读者.

[关键词] 高中数学；预习设置；思考

随着新课程改革的不断深化，数学课堂的教学视角从“教师如何教”转向“学生怎么学”，教师更多地关注学生的数学学习过程，挖掘学生的学习潜能. 这就要求数学教师在理解数学的本质、数学教育的价值与内涵以及教育心理学的普遍规律的基础上，更多地考察学生的学习过程，以系统的观点、辩证的观点、发展的观点解剖学生的学习环节与行为特征，总结其中的规律，以利进一步优化数学教学过程. 本文以司空见惯的“预习”环节为例，介绍笔者的做法.

预习内容安排与目标设定做到两个精准

预习内容安排与目标设定是预习过程设计的基本问题，预习过程的有效性、针对性与之密切相关，这要求做到两个精准，具体如下：

1. 对学生目前状态的数学知识结构与数学学习能力具有精准的了解

很多数学教育名家提倡教师多深入地了解学生的情况，这是站在教育哲学的高度所阐发的数学教育的真谛. 数学教师深入学生的途径常有：问卷法、访谈法、课堂观察法、课堂师生互动法、测验法、作业批改评析法、学生自我总结报告法等.

例如，在“两角和、差的正弦函数”教学时，教师可通过批改前一课时“两角和、差的余弦函数”的课后学生作业，了解到学生对“两角和、差的余弦函数”主要公式的基本含义、用法、变式是否已经理解并学会运用，对其较高级的运用技巧是否已经真正掌握. 数学教师也可以通过前一课时教学现场的临场观察、师生互动了解到学生群体中对于“两角和、差的余弦函数”的公式的推导过程和理解的程度，是仅仅限于形式上接受了教师的讲解，还是已经能体悟出其推导过程中的向量思想与三角函数思想之间的关系，尤其对于向量的内积的理解和运用的熟练程度如何，是否足以完成本课时的预习任务.

2. 对预习的内容、设定的目标在整个阶段性数学教学体系中的位置具有精准的把握

学生的数学学习过程可能存在个体性差异，但是在群体发展过程中循序渐进、拾级而上是共性. 数学教学体系经过多年的改革以及教师个性化教学过程的多年磨合，形成了一定的架构. 这种架构中循序渐进、拾级而上的共性表现得尤其明显，每一课时预习的内容、设定的目标在整个阶段性数学教学体系中的位置相对固定，具有其独特的作用；反之，预习顺序的混乱对教学过程而言不仅会带来教学实施的困难，还会增加学生额外的学习难度.

例如，上述提及的“两角和、差的正弦函数”数学课，教师布置预习任务时，可循序渐进地布置任务：重新阅读课本中互余、互补的角的三角函数之间的关系；回顾“两角和、差的余弦函数”的主要推论，简要证明这些结论；思考将“互余、互补的角的三角函数之间的关系”与“两角和、差的余弦函数”结合起来将会得到什么结果，这一过程的推理如何展开，得到的这一结果能否像“两角和、差的余弦函数”那样通过向量的基本定义和运算规律完成推理，能否尝试从几何角度给予“两角和、差的余弦函数”“两角和、差的正弦函数”一个不同于课本的推理.这些预习问题的设定，次序具有不可逆性，问题的呈现具有递进关系，是因为这些问题涉及的知识、方法的学习进程对应的次序已经在教学中相对固定下来，打乱预习的这些问题的秩序，学生在预习中的思维会变得混乱. 此外，通过预习促进学生优化知识之间联系的目的将失去. 从这个案例中也可以看出，对预习的内容、设定的目标在整个阶段性数学教学体系中的位置具有精准的把握是极为重要的.

预习难度的设置做到两个合适

数学学习的预习难度设置，对于学生数学学习过程的速度、效益具有不可忽视的影响：预习难度过低，则无法起到调动学生深入思考數学问题的作用，也无法起到复习、回顾、对新数学知识和新数学方法质疑的目的. 预习过程过难，造成预习时学生无法依靠自己的努力基本解决预习中遇到的数学问题，结果要么是花费巨大精力仍然解决不了数学问题，预习的进度很慢，导致整个预习任务的剩余部分不能完成；要么导致部分数学学习水平中等或者中等以下的学生直接放弃预习，丧失了预习的数学教学价值. 所以，预习难度的设置应该做到两个合适，具体如下：

1. 相对于全体学生群体的数学平均水平合适

班级学生的个体数学水平存在差异性，一般情况下很难磨平这一差异，这符合教育心理学的基本规律. 成功的数学教学能够让全体学生获得相对于自己原有水平的发展提高. 数学教学过程的预习难度设置，不可能具体到针对每一个学生，做好数学差异化教学的前提是让个体在整体中获得数学发展的空间. 因此，数学教学过程的预习难度设置应该以贴近全体学生群体的数学平均水平最为合适，数学基础较好的学生获得自由向上的空间，对于数学学习困难的学生则可以着重于基础知识、基础方法进行预习，少数存在的疑难点留待课堂随堂学习，预习的苦难并不构成后续学习的障碍.

例如，“复数”的定义及其基本运算规律教学后，通过批改作业、课堂提问等环节，教师了解到学生的整体学习情况之后，可以就作业的平均水平布置下一课时的预习任务的难度设置. 一般难度设置为根据复数的定义、基本规律理解几个常见的利用这两者能解决的基本计算题、具有几何意义的常见基础问题；而个别数学能力超长的学生则可以引导其阅读《复数与几何》（中国科技大学龚昇教授著），学习有障碍的学生可以布置其重新回到前一课时的学习中，减少具有几何意义的复数思考题.

2. 相对于预习后接着将要完成的新授数学课堂的平均难度合适

近年来，随着高考能力命题的趋势日益明显，部分数学教师又走向了另一个极端，片面追求数学教学的高速度、高难度. 在预习环节的难度设置中，也随意提高难度. 比如，学习了“等差数列”“等比数列”之后，准备完成“等差数列、等比数列的综合运用”这一主题的教学. 有的教师在预习的难度设置中出现了涉及变系数的差分方程的数列问题，而这类问题在高数中有一定的解题范式，但是在高中则由于形式性技巧太多，背后的数学思想则很简单（就是代数变形加上变量的整体代换），解算烦琐，一般不是高中数学的主干. 从数学预习学习的效果来看，这样的设置在难度上极为不妥. 实际上，通常的班级平均难度水平主要是运用两类数列的基本关系求解常见的一次的差分关系，教师可以布置一道与之相关的问题让学生在预习中动动脑子，激发兴趣.

预习结果的反馈做到两个利用

预习，作为数学学习活动的先导部分，起着复现相关旧数学知识、尝试了解或理解相对于学生而言的“新”数学知识、学会“新”的数学方法、感悟“新”的数学思想的作用. 预习的结果通过恰当反馈，可以成为教师组织学生自主学习数学，进入新授数学课堂阶段学习的有益的指南. 因此，预习不仅对学生个体的数学学习意义重大，预习的反馈更是会对整个学生群体的数学学习过程产生积极的意义，这将对教师的教学行为的有效性提供必要的基础. 在预习结果的反馈中，尤其值得注意两个利用.

1. 充分利用预习中产生的具有群体指标意义的统计数据

现代的班级授课制，留给数学教师安排的数学教学时空资源是有限的，时段是固定的、预知的. 班级学生的人数众多，决定了数学教师的教学过程的设计、教学行为的实施，首先必须对学生群体的数学学习具有意义. 数学教学行为的效果是先看能否使得绝大多数学生通过教师引领的数学自主学习、合作探究等行为获得数学知识的建构、方法的掌握以及数学思想的领悟与适当运用. 而事前预习中产生的具有群体指标意义的统计数据，可以为课堂行为的规划、调整提供可靠的依据.

例如，通过问卷调查学生对“集合”这一板块的预习结果，发现很多学生感到困难的是在集合的基本关系的理解上，此外对于运用集合思想灵活地建立相应的解决实际问题的数学模型存在困难，说明教师不必在集合的基础定义上进行过多的、死板的文字性的解释. 关键是让学生理解，更应该将更多的教学时空资源留给集合之间的基本关系以及利用集合这一重要概念解决实际问题上，帮助学生从实例的解决中加深对集合的理解，这也符合辩证法中的“认识过程往往是螺旋式上升的过程”这一基本规律. 有些数学教师往往指望一步到位解决数学教学中的问题，这是不可取的，也是做不到的.

2. 留心个别存在数学学习障碍的学生的预习结果

正如很多教育家强调的，重视个别存在数学学习障碍的学生，并不是强求一定要通过教师的努力让他们与其他学生达到相同水平，因为这往往做不到，学生之间总有个性化的差异. 但是，数学教师通过预习环節事前了解了个别存在数学学习障碍的学生的预习结果，可以做到在教学中的某些环节通过技术性教学手段，让这些孩子主动揭示自己数学学习的困难之处，积极参与班级的数学学习的互动中. 既可以活化整个班级的数学学习气氛，更为整体平均水平的提高准备了条件，变相促进了整体教学基点的提高，为下一轮新内容的教学提供了保证. 让每个学生获得具有个性化的数学水平提高，这也是数学教育的本质.

当然，在数学教育中，对于预习的作用也不能过于拔高. 总体来说，必须能面对班级数学学习的现状，解决学生数学学习客观存在的问题，这才是预习在数学教育教学研究的视角下拥有的真正价值.