用图式理论理解高中数学教学的尝试

万凌霞

[摘 要] 图式理论是经典的教学理论，在课程改革以来的教学语境中，图式理论有被边缘化的情形. 在核心素养引领教育的背景下，进一步研究图式理论，可以为高中数学教学带来有益的启示. 一线教师可以从图式理论如何解释学生的数学学习，如何指导高中数学教学角度来展开研究，并在实践的基础上展望图式理论可能发挥的作用.

[关键词] 高中数学；图式理论；教学理解

图式理论是描述学生学习的基本理论，在近年来高中数学教学研究中，看到不少仍然坚持从图式理论角度来研究高中数学教学的文献，这一点特别值得肯定，因为近二十年来，关于高中数学教学的研究更多的是在教学方式、教学形式上做文章，在笔者看来这是必要的，因为教学的形式常常决定了教学内容能否有效地被学生内化，这对于高中数学教学来说尤为必要. 可以肯定的是，通过教学方式与教学形式的改变，可以让学生更好地进入学习的状态中来，从而促进学生更好地完成数学知识的构建. 但同时不可忽视的是，教学形式与方式的改变，只能是从学生的学习表象处研究并施力，要真正了解学生的学习机制，那还得从内在的因素入手，而图式理论就是一个很好地解释学生学习内在机制的理论. 考虑到高中学生在数学学习中表现出来的不同程度的困难，笔者以为在学科核心素养引领教学的今天，更需要用这些经典理论来研究并理解学生的数学学习.

图式理论如何解释高中生数学学习

在笔者与同行交流的过程中发现，其实只要是经过基本的师范教育的同行，对图式这一概念还是比较熟悉的，但对图式的内容相对就陌生了一些. 而在笔者的研究中也发现，其实不同理论流派对图式的解释也有所差异，因此这里只选择获得相对普遍认同的理解，来作为解释高中学生数学学习过程的内容，并以之支撑对高中数学教学的研究. 这里阐述三个层次的内容：第一个层次，认识图式，图式是表征学生在学习过程中形成于记忆中的基本概念；第二个层次，理解图式，图式被认为是一个“知识包”，这个知识包中的不同知识在学生受到外界刺激（这里指服务于学习的问题刺激）时，可以向学生的思维提供各种材料，以保证学习可以顺利发生；第三个层次，图式理论，图式理论通常被认为是图式如何在学生的学习中发挥作用的理论.

有人为了普通教师更好地理解图式，提出了这样的观点：既然图式是为了解释学习的，那图式就应当是一个心理模型. 笔者以为，从模型的角度来认识图式，最大的好处就是其可以为教师研究学生的学习提供一个整体性思路，使得教师可以用这个模型去解释学生的学习. 事实上在笔者在用图式理解学生的数学学习的时候，恰恰就是将其当模型使用的. 这里不妨以“抛物线”的学习为例，来看看图式理论是如何发挥作用的.

高中阶段的抛物线学习，是在原有基础上研究抛物线的标准方程、几何性质等问题. 通常情况下，抛物线的教学遵循着这样的几个基本环节：一是通过生活中实例的提供，让学生认识到生活当中是有抛物线（面）的存在的；二是通过抛物线定义的给出，通过一系列的逻辑推理来得出抛物线的标准方程；三是通过一定的形式（通常都是表格）来构建对抛物线标准方程在不同形式下的图形、焦点坐标、准线方程、开口方向等要素的理解. 从抛物线的逻辑来看，这样的教学顺序是合理的，而从学生的认知发展角度来看，这样设计的奥妙就可以從图式理论角度来给予解释.具体阐述如下：

第一，生活实例的提供，让学生认识到抛物面是由抛物线旋转而成的. 通常情况下，这样的表述在教学中常常被一语带过，但在笔者看来其实可以稍微多花点时间让学生去构建想象的表象. 因为此时，学生原有的图式中是有抛物线的表象的，提到抛物线，学生第一反应就是脑海中会出现一个开口向上、顶点在原点处的抛物线，如果让学生对此表象进行动态加工，让学生想象其围绕y轴转动，就可以得到一个抛物面. 这个过程中，抛物线表象的出现，以及生成的抛物面的想象表象，都是图式在发挥作用.

第二，当教师呈现“抛物线是平面内到一个定点F和一条定直线l（F不在l上）距离相等的点的轨迹”，并给定F点就是焦点，l就是准线的界定. 在此基础上，学生的学习就围绕推理得出抛物线的标准方程而进行. 这个过程中，图式发挥的作用是，用图式中的逻辑推理为学生理解加工抛物线的定义，而思维的加工过程，就是抛物线标准方程形成的过程，在此过程中直角坐标系的建立、焦点到准线距离的设定（这一点在前面的圆锥曲线的学习中学生是有经验的）、等式的得出直至y2=2px（p>0）的得出，其实都是图式中的“知识表征以及知识如何运用”等在发挥作用.

这里不妨说明一下，如果学生在抛物线的学习中出现了困难，那就是这些学生的图式中对相关知识的表征不完整，或者是这些知识的运用出现了问题，这也意味着教师的教学重心应当落在完善学生的图式上. 关于这一点，下面进行详细的描述.

如何用图式理论指导高中数学教学

高中数学学习的过程中，会出现很明显的分层现象，总分150分的试卷常常会出现高的近乎满分，低的才十几二十几分. 造成这样的差距的原因是多方面的，很多时候教师与学生一起三年的努力也未必能够改变多少，但笔者发现如果从图式理论角度来对这些加以解释并做出改进，数学教学的思路会更加明晰. 当然，考虑到文章的方向，这里不针对分层教学做出过细的解释，只从高中数学学习的一般规律角度，针对学生在数学知识建构过程中出现的困难来给予解释.

仍以上面的“抛物线”教学为例.有的学生在构建抛物线最初就会遇到困难，为什么呢？因为其大脑中的抛物线表象是模糊的，其在构建抛物面的想象表象时也是有困难的.如果教师在教学中关注到这类学生的这一问题，那就可以采取一些预设的教学手段，比如说用多媒体呈现一个动态的抛物线旋转形成抛物面的图形，这就可以让这些学生顺利地跨过形成表象、加工表象这一困难. 当然，这里要注意教学顺序：不能一下子就呈现动画，而应当先让学生想象—满足图式中材料充足者的需要，然后再呈现—丰富这一类学生的图式，这样就可以满足不同学生的学习需要.

再谈学生对抛物线定义的理解.在呈现抛物线定义的时候，是以文字形式，还是图片形式，其实也是需要教师认真思考的. 因为文字形式与图片形式对于学生的思维方式来说是不同的，提供文字意味着学生需要的是抽象思维，呈现图片意味着学生所需要的是形象思维. 尽管我们说高中学生的抽象思维能力比较强，但不要忘了图式理论同时提醒我们：如果学生在学习的过程中遇到困难的时候，他们很可能会退回到更低级的思维方式上去.形象思维相对于抽象思維而言，是一种较为低级的思维方式（这里的低级并无贬义，而是指思维的层次性），因此在这一教学环节中，让学生的思维方式充分发挥应有的作用，就需要教师认真斟酌. 笔者的观点是，高中数学知识体系的建立更多的需要依赖于抽象思维，而形象思维通常是发生在新概念或规律的形成过程中，那抛物线作为一节新课的学习，更多的还是应当先以学生的形象思维作为支撑，即先用图片（也可以是几何画板制成的动画）来刺激学生的形象思维，这样可以保证绝大总分学生的学习需要；其后再通过表格来呈现不同形式的抛物线的标准方程以及各个方面的性质，则可以从抽象思维角度刺激学生构建关于抛物线的认知结构. 笔者以为，这样的选择是一个比较合理的运用图式指导抛物线学习的选择.

又如学生在利用抛物线知识解决问题的过程中，也需要引导学生用图式来实现有效的思维加工. 关于这一点，专家研究得最多的就是新手与专家（比如说教师）的区别，研究发现专家与新手面对同一个问题时，所选择的解决问题的模型是不一样的，而建构出什么水平的模型就与图式有关. 让学生实现从陈述性知识向程序性知识的转化，是提升图式水平的重要举措，在运用抛物线解决的情境中，就是要让学生将定义性知识、表格中的陈述性知识转换为基于不同标准方程的抛物线的结构性知识.

基于图式理论展望高中数学教与学

回顾已有的高中数学教学，展望学生未来的数学学习，在课程改革的理念之下，当教师将研究的目光从研究教学转向研究学生的学习然后再研究教学时，就意味着图式理论可以在高中数学教学中发挥重要的作用，也意味着学生的数学学习可以在建构更好的图式基础上获得发展.

这里需要特别指出的一点是，对于学生的数学学习来说，提高图式的自动化是提高教学效益的关键途径. 研究表明，当图式的自动化程度越高时，学生的思维加工更容易被释放，而这对于高中数学教学来说是极为珍贵的，因为这意味着学生可以将更多的思维（工作记忆）投入问题理解与解决当中去.

总之，基于图式理论展望高中数学教学，可以更好地抓住学生的思维本质，从而促进数学教学沿着健康的轨道顺利发展.