“不确定情境”在数学教学中的应用

朱建明

摘 要数学“不确定情境”作为一种特殊的教学情境，有助于促进学生充分参与数学学习进程。设计“不确定情境”不仅可以凸显教学内容中的关键要素，也可以通过数学变式促进学生理解数学知识，还能在数学知识的延伸拓展中揭示本质规律，彰显各种模型的不同特质。

不确定情境 数学教学 探究性学习

新课程强调数学教学应基于学生的实际，创设有助于学生自主学习的问题情境，促使学生积极主动、富有个性地学习，不断提高其分析问题和解决问题的能力。因此，为了促进学生深度参与数学学习的过程，恰当设置问题情境成了数学教学的重要组成部分，而因数学“不确定情境”与学生的数学学习过程联系紧密，蕴含丰富的数学方法和策略，思维价值高，深受广大师生的喜爱。

数学“不确定情境”就是以包含不确定因素的问题出发，通过教师引导学生分析推理等过程，寻求这些问题的确定性的解决策略，帮助学生获得知识、掌握技能、学会方法。数学“不确定情境”能使学生在辨识中思考，在思考中领悟。下面以江苏科技出版社出版的初中数学教材《义务教育课程标准教科书·数学》中的学习内容为例，谈谈数学“不确定情境”的设计与思考。

一、在不确定中提炼关键要素

创设“不确定情境”，可以引导学生在知识发生阶段，针对情境中的“不确定”成分，探究相关知识的附着点，概括提炼出关键性要素，从而引导学生循着知识产生的脉络去准确把握和理解学习内容。

案例1 6.4 探索三角形相似的条件（第2课时）（九年级下册）

上課开始后，教师提出问题：

（1）如图1，在正方形方格阵中，△ABC的顶点A、B、C在格点上。请在图中再画一个顶点都在格点上的△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC，并说明理由；

（2）对于△ABC与△A1B1C1，最少需要具备几个条件，便可以判定它们相似？

本例中，“不确定”体现在几个方面，一是问题（1）中△A1B1C1构图的位置、大小均不确定，需要学生自主拟定；二是判定两个三角形相似，三个角分别相等、三条边分别成比例这六个条件，最多可以减少几个？当然这个过程中，可以类比三角形全等的判定条件。通过这个“不确定情境”，参照图2，可以引导学生提炼出多个判定两个三角形相似的关键要素，能有效帮助学生认识学习内容的可能性和必要性。

二、在不确定中增进意义理解

为了帮助学生理解掌握知识内涵，在数学概念、法则和方法的教学中，可以借助相关问题的变式设计“不确定情境”，通过学生的辨析讨论，从不同侧面去增进知识和方法的意义理解。

案例2 4.2 等可能条件下的概率（一）（第2课时）（九年级上册）

本节课例3之后，教师提出问题：

如图3，一张圆桌旁有四个座位，甲、乙、丙、丁四人随机坐到这四个座位上，求甲与丙不相邻而坐的概率。

本例中研究的“不确定”因素首先是甲究竟坐在四个座位中的哪一个？甲的位置定了以后，又要研究乙、丙、丁三人按怎样的次序落座？由于本节课主要是学习用树状图的方法计算等可能条件下一些随机事件发生的概率，因此，本题如何用枚举法刻画所有等可能出现的结果成了关键。实际上，本例使用的枚举法是画树状图法的一个变式，可以先定甲的座位，然后直接如图4枚举就可以了，本例能帮助学生进一步理解枚举法的作用和价值。

三、在不确定中揭示本质规律

在知识应用时设计“不确定情境”，可以将教学内容适度地拓展延伸，提高知识内容的综合性，突出数学的应用价值，引导学生综合运用所学知识探究问题、揭示本质规律、感悟数学思想方法，有效提高学生的数学思维品质。

案例3 9.5多项式的因式分解（第4课时）（七年级下册）

在本课“思维拓展”阶段，教师提出问题：

（1）如图5，能否用1张A型纸片、1张B型纸片、2张C型纸片拼出一个正方形？并用多项式的积表示a2+2ab+b2。

（2）如图5，能否用1张A型纸片、2张B型纸片、3张C型纸片拼出一个长方形？并用多项式的积表示a2+3ab+2b2。

（3）如图5，能否用纸片拼出一个长方形，并将下列多项式因式分解？

①a2+4ab+3b2 ②a2+6ab+5b2；

③a2+10ab+9b2 ④a2+100ab+99b2

本例中的“不确定”首先体现在操作实验的不确定：能否用图5中的纸片拼出一个长方形或正方形。其次对多项式a2+100ab+99b2而言，要拼出与此相关的长方形显然太繁琐，那么必须在拼出与前几个多项式相关的长方形的基础上，在不断的操作尝试过程中，归纳揭示出多项式系数与三种特定的纸片的数量存在的依存关系，进而利用这一拼图规律，理解一类多项式因式分解与特定图形之间的联系，最后将这些蕴含在不确定中的规律挖掘出来。本例不仅为学生理解这一类多项式的因式分解提供了直观印证，也为学生运用图形去思考因式分解问题，为他们进一步理解数学、探究数学提供了操作范式。

案例4 5.2平面直角坐标系（第2课时）（八年级上册）

在本课“思维拓展”阶段，教师提出问题：

如果将点M绕定点P旋转180°后与点N重合，那么称点M与点N关于点P对称，定点P叫做对称中心。此时，点P是线段MN的中点。在直角坐标系中，△ABO的顶点A、B、O的坐标分别为（1，0）、（0，1）、（0，0）。点列C1，C2，C3，……中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称。

点C1与点C2关于点A对称，点C2与点C3关于点B对称，点C3与点C4关于点O对称，点C4与点C5关于点A对称，点C5与点C6关于点B对称，点C6与点C7关于点O对称……，对称中心分别是A，B，O，A，B，O……，且这些对称中心依次循环。已知C1的坐标是（1，1），试求出点C2、C8、C300的坐标.

本例的主要内容是用点的坐标描述图形变换运动后的位置，探索运动后的图形与原来图形的对应点坐标的关系。它体现的不确定因素有两个：一是点的对称，这与轴对称变换有差异；二是写出C300的坐标，显然这不能从C1、C2、C3的坐标逐个往下写，必须要找出这个不确定中的某种变化规律。而设置“求出点C8的坐标”，就是要通过学生经历描点的过程，找出点列周期性变化规律。利用周期性循环问题编制与教学内容契合的“不确定情境”，往往新颖别致，有较高的思维价值，是培养学生探究能力、合情推理能力的有效载体。

四、在不确定中强化模型特质

在课堂小结中设置数学“不确定情境”，可以通过学生面对一些问题的“不确定”成分进行分析思考，使他们对所学知识和方法进行归纳和梳理，引导学生作进一步的回顾反思，确定相关知识之间的差异，凸显特定知识的特质，以便查漏补缺、完善认识。

案例5 5.3用待定系数法确定二次函数关系式（九年级下册）

在本课的课堂小结中，教师提出问题：

已知点P（，8）和Q（2，2）两点，试写出两个不同的函数，使它们的图象都经过P、Q两点。

本例是一个数学开放性问题，开放性问题的显著特点在于某些要素的不确定性，它的条件、解题策略、结论常常可以在问题情境中自行设定和寻找，因此需要学生自主探索思考，创造性地将不确定的问题转化为几个确定性问题。本例作为课堂小结中使用的问题，不仅能使学生进一步掌握用待定系数法确定二次函数关系式，而且能使学生在同一个问题中学会选用不同模型，这里实际上写出的函数还可以是反比例函数、一次函數，因此本例凸显了不同函数的模型特质，可以帮助全面总结初中数学的各种函数知识。

案例6 12.3二次根式的加减（八年级下册）

在本课课堂小结阶段，提出问题：

（1）说出两个含有二次根式的式子，使它们的和、积都不含有二次根式；

（2）说出两个含有二次根式的式子，使它们的和仍含有二次根式，它们的积不含有二次根式。

本例也是一个数学开放性问题，“不确定情境”聚焦于二次根式中互为有理化因式这一模型，可以引导学生将这一类二次根式的运算进行系统梳理，并形成整体性认识，对提高学生的二次根式运算技能也会有所帮助。

总之，在数学教学中的不同时段设置“不确定情境”，能产生不同的教学效果。经常性设置“不确定情境”，还能帮助学生锤炼克服困难的信心和勇气，发展解决问题的策略，对提高数学教学的效能、打造高效课堂具有重要意义。

【责任编辑 郭振玲】