《抛物线及其标准方程》说课稿

郭江燕

一、教材分析

1.教材的地位與作用

众所周知，解析几何是一门通过建立直角坐标系，用代数方法研究几何对象之间的关系和性质的一门几何学分支。具体的做法是建立直角坐标系，使平面上的点与一个有序实数对一一对应，从而体现了形与数的统一与转化，其内容有着丰富的辩证关系。

解析几何主要解决两类基本问题：（1）已知曲线求方程；（2）已知方程求曲线性质。椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线，高中解析几何主要研究它们的性质与应用，是学生掌握解析几何的关键，是领会解析法构思的途径。本节内容是在学习了曲线与方程，以及椭圆、双曲线的定义，标准方程，几何性质的基础上进行学习的，所以可通过类比的方法得到抛物线的定义、标准方程以及下节课内容抛物线的简单几何性质。

2.教学重点与难点

重点：（1）掌握抛物线的定义及标准方程；（2）能根据抛物线的标准方程，求出焦点坐标、准线方程，并画出其图形；根据抛物线的焦点坐标或准线方程，求出抛物线的标准方程。

难点：（1）抛物线定义的形成过程，用坐标法求出抛物线的标准方程；（2）引导学生正确进行数学图形语言、文字语言、符号语言的相互转化。

二、目标分析

解析几何的基本方法是坐标法，在坐标系的基础上，用代数方法研究圆锥曲线。本章我们将继续采用必修课程《数学2》中研究直线与圆所用的坐标法，在探究圆锥曲线几何特征的基础上，

建立它们的方程，通过方程研究它们的简单性质，并用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题，进一步感受数形结合的基本思想。

本节课的内容是抛物线及其标准方程，通过45分钟，学生需要掌握的内容有：（1）了解抛物线的定义，在根据图形得出抛物线定义的过程中培养学生的观察能力、理解能力，继续渗透数形结合的思想。（2）掌握抛物线四种形式的标准方程，在得到抛物线四种形式的标准方程的过程中培养学生的分析能力、探索能力、合

作交流的能力和团队精神，激发学生积极主动地参与数学学习活动，养成良好的学习习惯，同时通过一些实例加强学生对抛物线的认识，使学生感受到美的享受，陶冶情操。

三、教法分析

本节课我以学生为中心，以问题为载体，采用启发、引导、探索相结合的教学方法。

1.通过实例和设置“问题”情境，激发学生解决问题的欲望。

2.提供观察的机会，引导学生独立思考，有效地调动学生思维。

3.通过探索、交流，使学生在开放的活动中获取知识。

四、过程分析

数学教学是数学活动的整合。因此，我将整个教学过程分为以下六个教学环节：

（1）创设情境，引入课题；（2）研究图形，形成概念；（3）根据概念，得到方程；

（4）变式演练，深入探究；（5）运用新知，解决问题；（6）归纳总结，巩固提高。

1.创设情境，引入课题

课堂教学的开始，我会问学生几个熟悉的问题：在现实中，我们都有观看篮球比赛的经历，那么篮球划过的轨迹是什么？逢年过节我们都会放烟花，那么烟花绽放的痕迹是什么？我把手里的粉笔抛进垃圾桶，粉笔划过的痕迹是什么？而在数学中我们学过二次函数，请问二次函数的图象是什么？所有的答案都是抛物线，我以实例激发学生学习的兴趣，明确今天的课程主题，引领学生进入学习情境。

由上面的问题我们可以发现，无论在日常生活中，还是在数学中，我们都能见到抛物线的影子，那么究竟什么是抛物线呢？这就是我们今天要学习的内容。（书写课题）根据书中描述的抛物线的产生过程在黑板上画出抛物线，边画边口述画法，通过在定直线上取不同的点，产生几个抛物线上的点，最后把那几个点用平滑的曲线连接起来便得到了抛物线。

2.研究图形，形成概念

虽然抛物线已经呈现在大家的面前，那么，究竟抛物线的定义是什么呢？

【设问意图】本章的主要学法就是类比，通过这个问题，学生会很自然想到椭圆、双曲线的定义，想要去找寻同椭圆、双曲线相似的在抛物线产生过程中始终不变的一个几何关系。

通过观察抛物线的图形，逐步引导，让学生发现抛物线上的点是随着定直线上任意点的运动而运动的，而在运动过程中，一个始终不变的几何关系是：到定点的距离等于到定直线的距离。从而确定抛物线的大致定义：平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫抛物线。

请大家想一想，定义中有一个定点、一条定直线，是不是无论这两者是任何位置关系，只要满足定义中的条件，就一定可以形成抛物线呢？

【设问意图】从内容的完整度和准确度出发，让学生通过分析点与直线的两种位置关系，得出只有定点不在定直线上时才会形成抛物线，否则是一条直线。

从而得到抛物线的完整定义：我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。

由前面的画图过程和与椭圆、双曲线定义的类比进行新概念的讲解，使得知识的衔接较为顺畅，概念的形成水到渠成。

3.根据概念，得到方程

由抛物线的定义，我们可以得到一个几何关系式MF=d（其中d是抛物线上的点到准线的距离），那么，如何建系才能使抛物线的方程更简单呢？

【设问意图】此问题会让学生自然想到椭圆、双曲线的建系方式，激发学生灵感，让学生主动思考交流。

学生可能会想到三种建系方式，无论哪种建系方式都设焦准距为P，按照三种建系方式，通过将几何关系代数化、化简，可以得到三个不同的方程，通过对比，可以发现y2=2px是最简单的，从而得到了抛物线的标准方程。

4.变式演练，深入探究

我们知道，在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程，那么，抛物线的标准方程有哪些不同的形式？

【设问意图】学生会自然想到椭圆、双曲线的两个标准方程是通过变换x轴，y轴得到的，所以学生会通过变换坐标轴的方式去获得抛物线的其他标准方程。

分别将抛物线的焦点放在x轴的负半轴，y轴的正、负半轴可以得到其他三种形式的标准方程。完成表格：

抛物线有四种形式的标准方程，那么，如何根据标准方程，快速得到抛物线的焦点在哪里呢？

【设问意图】通过观察标准方程得到一个一般性的结论，对于学生来说更实用。

结论：x，y中谁是一次项焦点就在哪个轴上，一次项系数的正负决定了焦点在正半轴还是负半轴。

5.运用新知，解决问题

为了及时巩固知识，反馈教学信息，就必须有练习这个环节。所以我安排了以下的练习：

（1）已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程。

（2）已知抛物线的焦点是F（0，-2），求它的标准方程。

6.归纳总结，巩固提高

为使学生对所学的知识有一个完整而深刻的印象，我请学生从以下两方面自己小结。

（1）抛物线的定义和标准方程是什么？

（2）如何根据给定的抛物线的标准方程得出其焦点坐标和准线方程？

（学生回答）

【设计意图】有利于学生养成及时总结的好习惯，并将所学知识纳入已有的认知结构，同时也培养了学生数学交流和表达的

能力。

五、评价分析

对于本节课，我的设计思路是：从学生熟悉的案例及数学中的二次函数出发引出抛物线，始终以学生为主体，以问题为载体，得到抛物线的定义及标准方程。教授过程以合作交流为手段；以能力提高为目的。整堂课我较重视概念的提取过程和知识的形成过程，学生通过自主探究、合作交流，体会冥思苦想后的豁然开朗、合作学习的默契和谐，通过本堂课的学习，让学生进一步体会数形结合的思想，感受几何坐标的美。

参考文献：

[1]邬建云.抛物线及其标准方程的教学设计[J].数学教学通讯，2007（7）.

[2]裴小珠.说课稿：圆的标准方程[J].中华少年，2015（25）.