转子-叶片系统固有特性分析及试验研究∗

太兴宇 杨树华 马 辉 李洪臣 孟继纲

(1.沈阳鼓风机集团股份有限公司；2.东北大学机械工程与自动化学院；3.西安交通大学机械结构强度与振动国家重点实验室)

转子-叶片系统固有特性分析及试验研究∗

太兴宇1杨树华1马 辉2,3李洪臣1孟继纲1

(1.沈阳鼓风机集团股份有限公司；2.东北大学机械工程与自动化学院；3.西安交通大学机械结构强度与振动国家重点实验室)

针对转子-叶片系统，采用能量法和集中质量法，建立了转子-叶片系统弯扭耦合运动微分方程，并在模型中考虑了叶片的截面特性、科氏力效应、离心刚化和旋转软化，还包括了转子的陀螺效应。通过对特征方程的计算，得到了系统的Campbell图。文中搭建了转子-叶片模态测试系统，通过测试结果与仿真结果的对比，验证了本文模型的正确性。本文还分析了圆盘半径对系统固有频率的影响，结果表明随着圆盘半径的变化，会出现频率转换现象。并且圆盘半径对轴扭转固有频率会产生一种软化作用，这种作用会随转速升高而变得更加明显。

转子-叶片系统；固有频率；模态测试系统；弯扭耦合；Campbell图

0 引言

在旋转叶轮机械中，转子系统的振动是影响系统运动稳定性的重要因素。准确预测转子系统的动态特性是旋转机械设计、研制中的重要问题[1]。在分析转子的振动特性时，传统的做法是将整个转子系统分成两个彼此独立的系统：一个是将叶片看作固支或者弹支，对叶片的振动进行分析；另一种是将叶片-圆盘视为一个刚体部件，对转子系统的动力学特性进行分析[2-3]。针对这两种做法的研究目前已经比较成熟，但对于转子-叶片整体系统的耦合运动的研究还比较少。并且国内外已有许多事故被认为与轴系的耦合振动有关，即由叶片与转轴的耦合振动引起的[4]。

60年代，人们开始研究柔性圆盘与叶片之前的耦合振动问题。许多学者研究了盘的柔性对系统耦合频率的影响并对模态转换现象进行了分析[5～15]。并且，Crawly和Mokadam[16]指出轴的横向振动只与叶-盘系统的1阶节径振动相耦合。王立刚等[17～19]建立了叶片-转子-轴承系统耦合振动的非线性动力学模型，为了分析叶片的惯性影响和系统的时变性，将叶片模型模化为单摆模型，利用一个线性变换将振动方程中与转子耦合的1节径振动方程与其他叶片振动方程解耦，从而分析叶片-转子-轴承系统的非线性振动。Sinha[20～21]在离心场下，建立了多支撑柔性转子-叶片的数学模型，其动力学方程包含了科氏力和陀螺效应。

本文以转子-叶片系统为研究对象，基于能量法，并结合Hamilton变分原理，推导出旋转态下的转子-叶片系统弯扭耦合运动微分方程。其中，叶片采用悬臂变截面Timoshenko梁模型，转子系统采用质点模型。该模型不仅包括了叶片的截面特性、旋转效应的影响，同时还考虑了转子系统的陀螺效应。在此模型的基础上，分析了转子-叶片耦合系统的固有特性，并通过对转子-叶片实验台进行模态测试，验证了本文所推导模型的正确性。

1 转子-叶片系统动力学模型的建立

针对转子-叶片耦合系统进行建模，为了突出主要问题，简化模型，模型推导过程基于以下假设：

1）材料各向同性，本构关系满足Hooke定律；

2）忽略叶-盘-轴之间的接触问题，认为三者之间是固定连接的；

3）圆盘简化为刚性盘，不考虑圆盘的柔性变形；

4）转子系统采用质点模型，其轴向变形很小，可以忽略不计；

5）支撑部分采用线性刚度模型，简化为弹簧阻尼模型。

图1为转子-叶片耦合系统的动力学模型，考虑转轴的弯扭耦合振动以及叶片的径向和横向振动，其中转轴和刚性圆盘组成转子系统，叶片采用悬臂变截面Timoshenko柔性梁模型，其截面面积和截面惯性矩为：

其中，b1，h1为叶尖处的叶片宽度和叶片厚度；b0，h0为叶根处的叶片宽度和叶片厚度；A0，I0为叶根处的横截面积和惯性矩，

图1 转子-叶片系统模型示意图Fig.1 Model schematic of rotor-blade system

图1中OXYZ为整体坐标系；oxdydzd为圆盘的坐标系，由于转子在运动过程中产生涡动，所以圆盘的坐标系与整体坐标系并不重合；oxryrzr为旋转坐标系；oxbybzb为叶片的局部坐标系，其中，xb向沿着叶片长度方向，yb向沿着叶片厚度方向，zb向沿着叶片宽度方向。

1.1 转子-叶片系统动能

假设刚性圆盘上均匀分布着Nb个相同的弹性叶片，这时，叶-盘系统就是一个Nb阶循环对称结构。当第i个叶片产生变形后，由图2可知，其上任意一点Q在固定坐标系OXYZ下的位移表示为：

式中，x，y，z为沿着叶片长度方向、厚度方向以及宽度方向的轴线；xd，yd，zd为圆盘在整体坐标系中X，Y，Z向的位移；u，v，w为xb，yb，zb的位移，即为叶片的径向、横向以及摆动方向的变形；ϕ为截面转角；A1为由叶片局部坐标系向旋转坐标系的旋转变换矩阵；A2为由旋转坐标系向整体坐标系的旋转变换矩阵。

图2 盘-片系统示意图Fig.2 Schematic diagram of disc-blade system

旋转变换矩阵可以分别写成如下形式：

本文模型不考虑叶片的摆动以及转子的轴向运动，故令式(1)中的w=0，z=0，zd=0。第i个叶片的动能表达式为：

式中，T1为叶片振动产生的动能项；T2为叶片与转子耦合运动产生的动能项；ρb为叶片的密度。

将转子沿轴向分成n个质量点，这些质量点一般选在叶轮、轴颈中心、联轴器、轴的截面有突变处以及周的端部等位置[22]。转子的动能包括圆盘质心处的转动动能和平动动能，以及其他质点处的转动动能和平动动能。表达式为：

式中，Jpd，Jdd，md为圆盘处的极转动惯量、直径转动惯量和质量；Jpi，Jdi，mi为除圆盘其他质量点的极转动惯量、直径转动惯量和质量；e为圆盘的偏心距。

1.2 转子-叶片系统势能

旋转叶片采用悬臂Timoshenko梁，其势能包括叶片弯曲势能、轴向压缩势能、剪切势能以及离心势能。那么第i个叶片势能的具体表达式为：

式中，Eb，Gb，κ，fc分别为叶片的弹性模量、剪切模量、剪切系数以及离心力。其中，离心力的表达式为：

转子系统的势能由扭转势能以及弯曲势能组成[22]：

式中，qr为转子系统各质点的位移向量；Kr为转子系统刚度矩阵。

将系统动能式(4)、式(5)和势能式(6)、式(8)带入到Hamilton原理表达式中：

带入到Hamilton原理表达式并进行变分后，得到转子-叶片偏微分方程。采用Galerkin法对叶片部分进行离散，最终得到转子-单叶片运动微分方程，具体过程见参考文献[23]。

如果结构绕其轴每旋转一个角度，结构(包括材料参数)与旋转前完全相同，则将这样的结构称为循环对称结构。旋转机械中的叶-盘组件就是典型的循环对称结构之一。根据上面得到的第i个叶片的运动方程以及转子弯扭耦合运动方程，经过离散化，写成矩阵形式。由于每个叶片都有相应的质量、阻尼和刚度矩阵，需要将各个叶片的矩阵与转子系统矩阵组集起来，形成转子-叶片耦合系统整体矩阵。图3为转子-叶片耦合系统矩阵组集示意图。图中，Nb为叶片数；Nmod为第i个叶片模态数；Ndof为第i个叶片的自由度数；Nrdof为转子系统平动自由度数。

经过组集后，整理得到转子-叶片系统的运动微分方程：

式中，qRB为转子-叶片耦合系统广义坐标向量；MRB为系统质量矩阵；DRB为转子-叶片耦合系统的阻尼矩阵；KRB为转子-叶片耦合系统刚度矩阵；fRB为转子-叶片耦合系统外力矩阵。

图3 转子-叶片耦合系统矩阵组集示意图Fig.3 Assembly schematic of global matrices for the rotor-blade coupled system

2 转子-叶片耦合系统固有频率分析

2.1 转子叶片系统固有频率求解

为了更好地研究系统的固有特性，需要对转子-叶片耦合系统非线性运动方程进行线性化，忽略外力矩阵以及轴的扭转和叶片变形的高阶项[13]。

旋转叶片连续体系统由于转动产生了科氏力，即式（10）中的科氏力矩阵，给模态计算造成了一定的困难。在比例阻尼的条件下，采用主坐标转换法，使原来相互耦合的微分方程解耦，化为一组可以各自独立求解的方程，每个独立方程便可视为一个模态单元系统。但对于一般非比例阻尼条件下，上述采用主模态振型矩阵作为坐标转换矩阵来进行坐标转换的方法不能使阻尼矩阵对角化，因而不能达到使振动微分方程解耦的目的。

忽略外力矩阵fRB，将式(10)做如下处理：

公式(11)可以写成：

设Zmod=Ueλit，并代入公式(13)中化简可得：

于是，上式有解的条件为系数行列式等于零，即：

计算公式(15)，可得一组特征值λi=α1±2πfnii及相应的一组系统固有频率fni(i=1,2,…)。

2.2 转子-叶片系统模态测试试验

下面以转子-叶片试验台为研究对象，研究转子-叶片耦合系统的固有频率。试验台如图4(a)所示。从图中可以看到，转子-叶片试验台包括一个驱动电机，安装在电机座上；电机和转轴之间采用柔性联轴器连接；轴的两端分别是两个滚珠轴承支撑；刚性盘安装在两个轴承中间，上面安装有4个矩形叶片。实验台参数如表1和表2所示。

表1 转子-叶片试验台参数表Tab.1 Parameters of rotor-blade test rig

表2 轴段参数表Tab.2 Parameters of shaft

图4（b）为叶片-转子系统模态测试系统，其包括LMS数据采集前端控制器、力锤（型号PCB086C01）以及轻质加速度传感器（型号BK 4517，质量0.7g）。放置传感器的测点如图4（a）所示。测试的结果如表3所示。从表中数据可以看出，解析结果与试验结果吻合较好，最大误差为3.61%，出现在叶片1阶弯曲频率。分析原因可能是由于测试叶片较薄，传感器质量对叶片产生较大的影响，使叶片的弯曲固有频率降低，同时还存在一定的几何尺寸和材料参数上的误差。

图4 转子-叶片试验台及测试系统图Fig.4 Rotor-blade test rig and test system

表3 仿真结果与试验结果比较表Tab.3 Comparison between simulation and test

2.3 转子-叶片系统固有频率分析

图5为转子-叶片耦合系统的动频曲线。在转速的作用下，转子-叶片耦合系统会受到陀螺效应、离心刚化、旋转软化以及科氏力的影响。从图6中的曲线可以看出，转子的扭转频率和平动频率受转速影响不大；而转子的俯仰频率成分以及圆盘左右轴段的弯曲频率在陀螺效应的作用下，产生了正进动和反进动频率：正进动频率随转速的增加而增加，反进动频率则随转速的增加而减小。叶片在旋转态下的固有频率主要受离心刚化、旋转软化以及科氏力的影响，其中，离心刚化的作用最为明显，所以可以看到叶片弯曲固有频率随转速的增加而增加。

图5 转子-叶片耦合系统Campbell图Fig.5 Campbell diagram of rotor-blade system

图6为圆盘半径与固有频率之间的变化曲线。从图中可以看到，随着圆盘半径的增加，转子的扭转频率、平动频率以及俯仰频率都会降低，其中，扭转频率和俯仰频率下降的最为明显。而叶片的频率曲线则保持为一条数值不变的直线，这是由于在解析模型中，圆盘假设为完全刚性，所以圆盘的半径对叶片频率没有影响。并且随着圆盘半径的变化，会出现频率转换现象(图中虚线圆圈部分)。

图7为轴的扭转频率随圆盘半径的变化曲线。从图中可以看到，随着旋转系统中圆盘的半径的增加，轴的扭转频率会降低。这种变化可以看作是圆盘半径对轴扭转频率的一种软化作用。并且从图中还可以清楚的看到，转速越大，这种软化作用就越明显。

图6 固有频率与圆盘半径的变化曲线图Fig.6 Curve of natural frequency plotted versus the radius of the disc

图7 扭转频率与圆盘半径之间的关系曲线图Fig.7 Torsional frequency plotted versus the radius of the disc

3 结论

本文以转子-叶片耦合系统为研究对象，采用能量法结合Hamilton变分原理，得到转子-叶片系统的弯扭耦合运动微分方程。该运动方程除了考虑了叶片的截面特性和旋转效应，同时还考虑了转子陀螺效应的影响。

通过矩阵线性化得到系统的质量、阻尼和刚度矩阵，同时搭建了转子-叶片系统模态测试系统，通过对系统静止状态下的模态测试，发现本文模型结果与试验结果误差都在4%以内，验证了本文模型的正确性。对动力学方程进行解耦，得到了系统的Campbell图。通过对耦合频率的分析发现，随着圆盘半径的变化，会出现频率转换现象。并且圆盘半径对轴扭转固有频率会产生一种软化作用，这种作用会随转速升高而变得更加明显。

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Natural Characteristics Analysis and Experimental Research of a Rotor-blade System

Xing-yu Tai1Shu-huaYang1Hui Ma2,3Hong-chen Li1Ji-gang Meng1
(1.Shenyang Blower Works Group Corporation; 2.Schoolof Mechanical Engineering&Automation,Northeastern University; 3.State Key Laboratory for Strength and Vibration of Mechanical Structures)

A differential equation of motion coupling bending and torsional vibrations of the rotor-blade system is formulated using the energy method and lumped mass method.The gyroscopic effects of the rotor involving the shaft and disk, and the centrifugal stiffening,spin softening and coriolis force of the blades are considered in this model.The Campbell diagram is obtained by solving the eigenvalue equation.The modal test system is set up and the validity of the mathematical model is verified by comparing the test with the simulation result.The effect of the radius of the disk on natural frequency is also analyzed in the paper.The results show that the frequency veering can be found changing the radius of the disk.Moreover, the softening effect of the radius of the disk on the torsional frequency can be produced,which will be more obvious with the increasing rotational speed.

rotor-blade system，natural frequency，modal test system，bending-torsional coupling，Campbell diagram

TH452；TK05

1006-8155（2017）02-0029-07

A

10.16492/j.fjjs.2017.02.0006

辽宁省博士启动基金（201501081），《天然气液化用大型混合冷剂压缩机研制》项目(工信部联装[2014]500号)，机械结构强度与振动国家重点实验室开放课题（SV2015-KF-08）

20176-01-01 辽宁 沈阳 110869