谐波平衡法在压气机缘线匹配设计中的应用∗

张恒铭 黄秀全 张 翔 杨青真

（西北工业大学动力与能源学院）

谐波平衡法在压气机缘线匹配设计中的应用∗

张恒铭 黄秀全 张 翔 杨青真

（西北工业大学动力与能源学院）

为解决压气机缘线匹配设计中非定常数值模拟的耗时问题，引入高效的谐波平衡方法，并构建了缘线匹配优化设计系统，最后完成了对转压气机的缘线匹配优化设计。结果表明：优化后对转压气机的效率、压比和流量均有不同程度提高。进一步的流场分析发现，优化后对转压气机排间非定常效应的强度有所减弱，对于峰值效率工况，这有利于流动效率的增加。而非定常效应减弱的主要原因在于上游前转子尾迹和叶尖泄漏流的强度降低。这些现象说明谐波平衡法在缘线匹配设计中是有效的，它使缘线匹配设计思想更接近于工程应用。

缘线匹配；谐波平衡法；计算流体力学；非定常流；对转压气机

0 引言

非定常是压气机流动的固有特征，引起非定常的因素很多。其中，由叶排相对运动所引起的排间干扰对压气机的流动特性有着重要影响。早在1974年，Kerrebrock就利用实验考察了转子尾迹对压气机性能的影响[1]。此后，国内外的学者在非定常流动方面开展了大量的研究[2-7]。他们的研究表明：排间干扰对叶轮机性能产生了不可忽略的影响，例如尾迹作用于下游流场时，不但会与下游的边界层、尾缘涡和端壁二次流等发生相互作用，且自身还会产生“耗散”和“恢复效应”。此外，排间的非定常扰动还会引发多级clocking效应，从而对压气机性能对产生影响[8]。

因此，在叶轮机的数值仿真中，相对于忽略排间周向不均匀性的定常模型，采用更加接近物理真实的非定常模型显然更为可靠。且纵观压气机设计技术的发展历程，在设计阶段计入更多的流动信息，实现对压气机流场更为精确、完整的数值预测，对于挖掘压气机气动性能的潜力具有重要意义。刘永泉等指出，非定常设计技术是压气机设计体系未来的一个发展方向[9]。

早在1998年，周盛和季路成就对非定常设计体系进行了探讨[10]。而后季路成等又提出了“缘线匹配”的思想[11]，该思想将排间非定常效应跟叶片排的几何特性关联了起来。此后，不断有学者在“缘线匹配”上进行研究[12-13]，然而，受限于非定常计算的巨大耗时，尚无研究者采用优化的方法来进行压气机排间的缘线匹配。而理论上讲，优化是实现“缘线匹配”最为直接和有效的方法[14]。因此，有必要探索一种高效的非定常数值模拟手段，来实现缘线匹配的优化设计。

本文利用谐波平衡法快速、高效的特点，将其应用于压气机排间非定常的数值模拟中，初步探索和研究该方法在缘线匹配优化设计中的应用。

1 缘线匹配优化设计系统

“缘线匹配”是指相邻叶片排前排叶片尾缘和后排前缘的空间匹配关系，而对于上下游的非定常效应来说，这种匹配即可理解为周期性非定常效应的周向相位沿径向分布的匹配关系以及轴向位置大小在径向分布的匹配关系。显然，“缘线匹配”有助于将排间的非定常效应进行更为合理的组织。而由于叶片前缘线和尾缘线形状的改变无法脱离叶片本身“弯”和“掠”的变化，则在缘线匹配的过程中，势必会同时包含叶片“弯”和“掠”所带来的气动特性改变。因此，缘线匹配既包含了“弯”和“掠”的三维定常特征，也包含了排间的非定常效应。

本文仅考察非定常效应的周向匹配关系和“弯”的定常特征，文献[14]指出，可以利用积叠线来完成排间的缘线匹配。因此，这里通过改变叶排积叠线的周向形状来实现缘线匹配。

1.1 Nurbs曲线参数化

对于积叠线的参数化，这里使用了NURBS（Non-Uniform Rational B-Splines，非均匀有理B样条）曲线。Nurbs曲线具有仿射不变性，即对NURBS曲线进行仿射变换得到的仍然是NURBS曲线，且对应的控制点也可通过对原曲线控制点进行仿射变换得到。其次，其还具有局部修改性，即移动控制点或改变权重因子都仅仅只会影响到对应的局部曲线形状，其它区间则不会发生任何变换。此外，其还具有方法稳定、计算量小、适合编程等优点。这些优点都使得NURBS曲线非常适用于工程应用。

对于一条具有n+1个控制点的p次NURBS曲线，其定义为：

其中，Ρi为控制点，ωi控制点的权重因子。Ni,p(u)为p次B样条基函数，其定义为：

对于本文的对转压气机来说，从叶根到叶高应用了四个控制点来对叶型积叠线进行参数化，如图1所示。之所以选择四个控制点在于，其基本可以刻画出大多数的积叠线形式，同时变量数也不至于过多，从而可以在保证缘线匹配优化设计有效进行的同时，尽量减小优化所带来的计算消耗。虽然一共有四个控制点，但对于根部的控制点，可以将其固定，作为基准点，取P1，P2，P3点作为优化变量，显然对于本文的研究来说，这跟把四个点都选作优化变量是等价的。由于前、后两个转子积叠线都要进行优化匹配，因此，整个缘线匹配共采用6个自由变量来完成优化设计。

图1 叶片积叠线控制点示意图Fig.1 Control points of blade stacking line

1.2 下山单纯形法

文章对于优化算法使用了下山单纯形法（Downhill Simplex），其优点在于不用进行导数运算，对于不连续空间的适应性好，对于变量不多的极值问题往往具有不错的工作效率，且算法简单易实现。该方法是一个直接搜索方法，其借用了单纯形（Simplex）的概念。所谓单纯形是指n维空间中，由n+1个顶点所构成的“最简单”的封闭图形，例如：对于两个变量的二维问题，单纯形即为三角形。

下山单纯形法的基本思路是：首先构造一个初始的单纯形，然后通过四种方式（反射、反射并扩张、收缩和多维收缩）来获得新的尝试点，替换掉单纯形中值最差的点，从而构建出新的单纯形，然后利用新的单纯形继续构造尝试点，如此反复。在计算迭代的过程中，单纯形的顶点位置不断发生变化，而单纯形的体积也会逐渐变小，当单纯形的半径足够小，满足收敛的条件时，则停止迭代，输出结果。其具体的步骤如图2所示。

图2 下山单纯形法计算流程[15]图Fig.2 Process of downhill simplex

1.3 谐波平衡法

谐波平衡法的基本思想是将随时间变化的流动变量分解为一个总体平均项和时间扰动项。对于时间扰动项，假定其在时间上具有周期性，则可以应用傅里叶级数来近似这种周期性的时间扰动项。因而，谐波平衡法仅能求解周期性的非定常流动问题，显然，将其应用在压气机排间干扰的非定常模拟中是非常适合的。2002年，Hall首次将该方法应用到了叶轮机非定常数值求解中[16]，对震荡叶栅的非定常流动进行了求解，结果发现相较于双时间步的非定常计算，其计算量能减小一个量级，且三阶谐波就可以满足通常的工程需求。同时，“谐波平衡法”的优良特性也逐渐得到了广泛的认可，商业软件Star CCM+中就集成了“谐波平衡法”，此外，Gopinath对“谐波平衡法”的有效性进行了分析[17]，结果表明其可以准确的捕捉排间的尾迹、势扰动等信息。

非定常流动变量可表示为如下形式

其中，W为非定常守恒变量；W0为总体平均量；An和Bn为第n个谐波的傅里叶系数；ωn是第n个谐波的角频率。令W1，…，W2N+1为2N+1个时刻的变量值，则有下式成立

其中

E为离散傅立叶变换矩阵的逆矩阵，对于变量W*，其满足半离散的N-S方程，即

其中，V为网格单元体积，把公式（1）带入上式有

式（5）即为需要进行求解的谐波平衡控制方程，τ为虚拟时间。容易知道，相对于定常控制方程，其多了一个由谐波产生的源项VDW*，且其控制方程数目是定常的2N+1倍。因此，理论上讲，其计算量略高于定常的2N+1倍，相比于时域非定常计算，其效率明显高得多。

1.4 缘线匹配优化设计流程

本文进行缘线匹配优化设计的流程如图3所示。其详细的操作步骤为：

1）对前、后转子叶片积叠线进行参数化生成；

2）利用新的叶片积叠线进行三维造型；

3）对新的对转压气机几何进行网格生成、完成非定常数值计算；

4）对非定常模拟的结果进行后处理，得出对转压气机的性能参数；

5）对计算结果进行判断，看是否满足残差收敛要求。如果不满足，则利用下山单纯形法生成新的积叠线参数，并重复（1）～（4）步骤；如果满足收敛，则结束。

图3 缘线匹配优化设计流程图Fig.3 Process of edge-matching optimal design

2 研究对象及计算设置

2.1 优化对象

选择的研究对象为一对转压气机，该压气机进口处的外径为0.635m，轮毂比为0.247。前转子转速为5200r/min，叶尖切线速度是345.8m/s；后转子转速为-4100r/min，叶尖切线速度为-272.6m/s。前转子的设计压比为1.53，后转子的设计压比为1.45，总设计压比为2.2185。图4为对转压气机的三维示意图。

图4 对转压气机三维图Fig.4 Three-dimension model of counter-rotating compressor

2.2 网格设置

文章由于在周期性边界上使用了相位滞后条件，因此只需要使用一个叶片通道网格。而在固壁上应用了壁面函数来处理边界层的流动，其对壁面第一层网格大小的依赖性较低，则H型网格即可以满足数值计算的需要，对转压气机的三维网格如图5所示。

图5 对转压气机三维网格图Fig.5 3D mesh of counter-rotating compressor

网格在周向和径向的网格数分别为57，65，两排网格数总共约80万。叶尖间隙部分采用了削尖处理，间隙在径向上的网格数为4。

2.3 计算设置

在空间离散上，采用了中心差分的JST格式，为二阶精度，其计算效率较高，稳定性好，在工程中已经被广泛应用和验证。时间推进上采用了隐式方法，利用一阶L-F分裂格式进行了对流通量的线化处理，粘性项线化进行了简化，保留了对角项。对整个线性代数方程组的求解采用了上下对称的逐次超松弛迭代方法（LUSSOR）。边界条件上，在进口给定总温（293K）、总压（101 325Pa）和气流方向（轴向进气）。出口结合简单径向平衡方程，给定了叶根处的静压值。

在优化设置上，需要设定优化目标，对于对转压气机来说，总压比和绝热效率是两个非常重要的性能参数。设定这两个参数作为优化目标，且权重因子均为0.5。此外，优化的工况为峰值效率工况。

3 优化结果及分析

3.1 优化结果

整个优化设计过程共迭代了85步，平均每一步消耗的时间约为2.5h，因此完成非定常缘线匹配的过程约花费210个计算机时，将近9天。

图6给出了优化后前、后转子积叠线的周向相位匹配形式，图中的横坐标为对应叶高截面在周向的位移角度，而图7为优化前后的三维叶片对比图，图中左边叶片为原始叶片，右边叶片为优化后叶片。

图6 优化后积叠线的周向相位匹配图Fig.6 Circumferential phase-matching of the optimized stacking line

图7 优化前后三维叶片对比图（左：原始的；右:优化后）Fig.7 Comparison of the 3D blade model before and after optimization(Left:Original;Right:Optimized)

3.2 优化前后总体特性

图8为对转压气机优化前后的压比和效率特性曲线。图中显示，优化后对转压气机的总压比在整个工作范围内均高于原始叶型；同时，优化后的效率在最高效率点附近时高于原始叶片，而在近失速工况附近则跟原始的特性相差不大。此外，优化后对转压气机的数值失速裕度也明显高于原始叶片。这些都表明对转压气机的总体性能在优化后有所提高。

可以看出，优化时采用的峰值效率工况是对转压气机优化后性能提升最多的工况，优化后的效率达到了88.703%，相比于原始的对转压气机，效率提高了约0.4%，对应的压比也有一定程度的提升。此外，对应工作点的流量也从236.25kg/s提升到了237.56kg/s，增加了约1.31kg/s。这些说明，基于谐波平衡方法的缘线匹配优化设计是有效的。文章后面的相关流场分析都将针对峰值效率工况展开。

图8 对转压气机总体特性图Fig.8 Characteristic of counter-rotating compressor

3.3 优化前后流场对比分析

3.3.1 时均流场分析

接下来对优化前后的流场特征进行对比。图9给出了95%叶高上的涡量分布。图中用箭头标注了前、后转子叶尖泄漏涡的核心部位，可以发现优化后前转子和后传子的叶尖泄漏涡核心部分涡量明显得到了减小，这有利于降低叶尖泄漏所带来的掺混损失。图10是5%叶高部分的涡量分布。图中标注的Separation A是前转子的角区分离，对比可以发现，优化后的前转子角区分离明显减弱了，其分离区的大小以及强度都明显被抑制，这显然有利于减小损失。此外，图中的Separation B和Separation C分别为后转子压力面和吸力面上的分离。图中显示，优化后的后转子压力面分离强度要弱于原始叶片，而吸力面分离则略高于原始叶片。综合来看，后转子流动状况的改善并不明显。

图9 95%叶高的时均涡量分布图Fig.9 Contour of vorticity at 95%spanwise location

图10 5%叶高的时均涡量分布图Fig.10 Contour of vorticity at 5%spanwise location

通过前面的分析可知，优化后前转子叶尖和叶根部分，以及后转子叶尖部分的流动状况都有所改善，而后转子的叶根部分的流场则出现轻微恶化。总体来说，对转压气机的流动状态在优化后有显著改善。

产生这些变化的主要原因在于缘线匹配优化所引入的“弯”效应对前、后叶片通道中的二次流强度产生了影响。进一步的研究分别给出了前转子在优化前后的吸力面极限流线图（见图11）。吸力面的极限流线显示，在30%叶高以上的尾缘附近形成了一条明显的集中线（黑白相间的虚线所示），其是由附面层中的低能流体在吸力面上沿流向发展，并逐渐聚集形成分离，进而产生的分离集中线。图中可以看出，优化后该集中线的形态发生了变化，前转子叶尖附近的集中线位置更靠近叶片尾缘，表明分离有所减弱。而对于叶中区域（50%叶高附近）的集中线，优化后其位置提前了，表明叶中区域的分离加剧，损失有所增加。同时，叶顶附近用黑色椭圆标注出了激波附面层分离所形成的回流区，可以发现优化后其回流强度有所降低，也表明叶尖附近的激波附面层分离得到了抑制。而对于叶根附近的二次流动，图中用黑色箭头标注出了轮毂角区分离位置，很明显优化后的角区分离区域也得到了减小。前转子吸力面上的极限流线表明，叶尖和叶根部分损失有所减小，而叶中有所增加，这跟图9和图10的相关分析是一致的。

图11 前转子吸力面的极限流线图Fig.11 Limited streamlines on the suction surface of front rotor

接下来关注后转子吸力面上的极限流线分布（见图12）。对比吸力面的极限流线形态可以发现，优化后角区附近的回流明显比原始叶片更为严重，且角区分离集中线达到的径向位置也更高，表明优化有角区分离加剧了。因此，这表明后转子根部的损失有所增加，这也跟前面的相关分析吻合。

3.3.2 非定常特性分析

前面的研究分析主要基于时均特性，其反映的是缘线匹配所带来的总体效应，而对匹配前后的非定常特征并没有单独分析。因此，下面将对匹配前后的非定常特性进行讨论，以考察非定常特征变化在缘线匹配过程中所扮演的“角色”。本文的参考文献[6]，利用定常和非定常数值模拟结果之间的差来分析排间的非定常效应对压气机流动的影响。定义非定常的总压比和效率变化率分别为：

显然，Δπ和Δε的值越大，表明非定常效应对压气机的流动状况起到了越积极的效应。

图12 后转子吸力面的极限流线图Fig.12 Limited streamlines on the suction surface of rear rotor

图13和图14分别给出了Δπ和Δε沿径向的分布。图中显示，对于Δπ来说，优化后前转子根部的Δπ明显要高于原始叶片，但始终低于0，这表明非定常效应降低总压比的这种影响有所减小；而后转子根部的Δπ则低于原始叶片，但始终高于0，类似地，其表明非定常效应增加总压比的这种作用在优化后有所增强。

对于Δε来说，优化后前转子尖部和根部的Δε值更大，这表明优化匹配后，非定常效应降低转子效率的影响有所减弱；而后转子的Δε值，在优化匹配前后沿径向出现交替“领先”的情况，在整体上两者相差不大。综合前面的讨论，可以发现，进行缘线优化匹配后，前转子由非定常效应引起的性能降低现象有所减弱，而后转子则总体上相差不大。因此，排间的非定常效应总体得到了优化，这就表明优化匹配后前后转子的缘线在周向相位上的匹配关系确实得到了改善。

接下来分析产生上述非定常效应变化的原因。图15和图16分别给出了95%叶高和5%叶高上湍流粘性系数μt的S1瞬时分布。μt的大小可以反映出当地的湍流脉动强度，对于尾迹和叶尖泄漏来说，其值越大，往往意味着尾迹和叶尖泄漏的强度和损失越大。图中显示，优化后，无论是叶尖还是叶根附近的流场，前转子尾迹区的μt值均出现了明显的减小。尤其是对于根部，具有高μt值的尾迹区域的宽度明显变窄了。这表明优化后，前转子的尾迹强度有明显减弱。同时，前转子叶尖泄漏部分的μt值也出现了明显减小，即叶尖泄漏的强度也有所降低。减弱的前转子尾迹和叶尖泄漏流在向下游的传播过程中，继续跟通道内的流动相互作用，形成湍流耗散。而图中显示，优化匹配后，尾迹和叶尖泄漏强度的减小导致其在下游叶片通道内的μt值也降低，同时，其跟下游后转子通道中的其它流动现象（例如边界层、激波等）的相互作用也得到了弱化。此外，从图13和图14中也能看出，优化匹配后Δπ和Δε的大小更靠近“0”，这些现象都表明优化后的排间非定常扰动强度有所降低。

图13 Δπ沿径向的分布图Fig.13 Distribution ofΔπat radial direction

图14 Δε沿径向的分布图Fig.14 Distribution ofΔεat radial direction

图15 95%叶高湍流粘性系数μt瞬时分布图Fig.15 Instantaneous contour of turbulence viscosity coefficientμtat 95%spanwise location

图16 5%叶高湍流粘性系数μt瞬时分布图Fig.16 Instantaneous contour ofμtat 5%spanwise location

4 结论

本文利用谐波平衡技术，基于非定常缘线匹配的思想，以对转压气机为研究对象，完成了非定常优化设计。经过约210个小时的计算，得到了优化结果，优化后对转压气机的效率、压比和流量均有所提高，表明缘线匹配优化设计的流程是有效的，谐波平衡方法可使得压气机的非定常设计更接近工程。

通过详细对比原始叶型的时均特性和非定常特性，发现缘线匹配会同时引入了“弯”效应，其会引起前、后转子通道中的二次流动状况发生变化。优化后对转压气机的叶尖和叶根部分的流动得到改善，压力和效率都得到了明显增加。此外，排间的非定常效应强度优化后也有所减弱，这对于设计点工况来说，有利于流动效率的增加。而这种非定常效应减弱的原因在于上游前转子尾迹和叶尖泄漏流的强度降低。

缘线匹配的设计过程是一个将三维“定常”效应和“非定常”效应进行综合考虑和相互平衡的过程，其与谐波平衡法的结合为发掘压气机的性能潜力提供了新的思路。

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Application of a Harmonic Balance Method in the Edgematching Design of Compressors

Heng-ming ZhangXiu-quan HuangXiang ZhangQing-zhen Yang
（School of Power and Energy,Northwestern Polytechnical University）

In order to solve the time-consuming problem of the unsteady numerical simulation in the edge-matching design of compressors,the efficient harmonic balance method has been introduced and a system of optimized design for edgematching has been developed.With this method,the edge-matching design of counter-rotating compressor has been performed.The results shows that the efficiency,total pressure ratio and flow rate of the optimized counter-rotating compressor are increased.Further analysis reveals that the row-to-row interaction weakens,which is beneficial to augment the aerodynamic efficiency.The reason why the unsteady effects are weakened stem from the reduction of the intense upstream wakes and tip clearance leakage flow.These phenomena demonstrate that the harmonic balance method is valid and useful for the edge-matching design and close to engineering application.

edge-matching，harmonic balance method，CFD，unsteady flow，counter-rotatingcompressor

TH453；TK05

1006-8155-(2017)02-0001-09

A

10.16492/j.fjjs.2017.02.0001

国家自然科学基金（50706039）；航空科学基金（2012ZB53022）

2017-02-16 陕西 西安 710072