数论中的五类不等式问题

吕孙忠

浙江省宁波效实中学 (315012)

数论中的五类不等式问题

吕孙忠

浙江省宁波效实中学 (315012)

不等式和数论结合的试题，需要有较强的代数变形技巧，以及一部分整数方面的知识.文中的符号如下：

(a,b)和[a,b]分别表示a和b的最大公约数和最小公倍数；

[x]和{x}分别表示x的整数部分和小数部分；

d(n)和σ(n)分别表示整数n的约数个数和约数和.

1 k进制中的不等式问题

注：这是一道以k进制为背景的不等式题目，其本质还是通过逐项比较判断符号.其中，涉及到的一个性质是AnBn-1=(xnan+An-1)Bn-1.

例2f(n)表示n!含的2的指数，其中n为正整数，证明：(1)f(n)

∴n-(x0+x1+…+xk)≥a-(y0+y1+…+yi)+b-(z0+z1+…+zj)，⟺a+b≤n+(y0+y1+…+yi)+(z0+z1+…+zj)-(x0+x1+…+xk)≤n+(i+1)+(j+1)-1=n+(i+j)+1≤n+2k+1，且2k

注：从表面上看例3，大多数人会不知道如何入手，如果将问题表示为二进制以后，那么问题就柳暗花明了.

2 高斯函数中的不等式问题

A1=[x]≤[1·x]，假设Ai≤[ix]成立(i=1,2,…k).A1=[x],2(A2-A1)=[2x]，…，(k+1)(Ak+1-Ak)=[(k+1)x]，∴(k+1)Ak+1-(A1+A2+…+Ak)=[x]+[2x]+…+[(k+1)x].又∵[x]+[y]≤[x+y]，∴(k+1)Ak+1≤([x]+[kx])+([2x]+[(k-1)x])+…+([kx]+[x])≤(k+1)[(k+1)x]，∴Ak+1≤[(k+1)x]，∴对任意自然数n，An≤[nx].

注：此题直接使用第一数学归纳法是行不通的，要使用第二数学归纳法，借助一个数论不等式[x]+[y]≤[x+y]，最后通过倒写相加解决问题.

3 离散性中的不等式问题

注：利用整数的离散性，a,b∈Z，a>b，则a≥b+1.

注：整数的离散性，还表现在一些平方数或者立方数的差，它们的间隔会有一定的特点，只能取到某些特定的数.

4 σ(k)函数中的不等式问题

例11d(n)表示n的约数个数.求证：

注：此题也需要交换求和符号，同时也考察了σ(n)的两种表示方式.

5 公约数和公倍数中的不等式

注：此题中在化简的时候除了用到均值不等式以外，还用到了两条数论的性质，它们分别是(a,b)≤|a-b|和(ak,bk)=(a,b)k.看到此题要证明的结论，其实可以从结论出发，猜测证明的过程(a3,b3)≥(a,b)3≥|a-b|3>3ab，然后再进行代数变形，得到所需要的a3和b3.

[1]边红平.初等数论[M].浙江大学出版社，2007.

[2]何忆捷.数论性质在不等式问题中的应用[J].中等数学,2014,01:5-9.

[3]羊明亮.2014中国西部数学邀请赛[J].中等数学,2014,11:31-34.

[4]刘康宁.数论中的不等式问题[J].中等数学,2010,01:9-13.