百僧吃九十二馍如何

陈连玉

原题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争。小僧三人分一个，大小和尚得几丁？”意思是：100个和尚吃100个馒头。大和尚1人吃3个，小和尚3人吃1个。求大、小和尚各多少人。（以下简称“题1”）

大部分教师是这样解的：从题中信息“大和尚1人吃3个，小和尚3人吃1个”，知道1个大和尚和3个小和尚一共吃4个馒头，也就是说4个馒头正好分给1个大和尚和3个小和尚。所以我们可以把100个馒头每4个分成一组，一共可以分成100÷4=25组，而100个和尚也正好分成这样的25组。在每组中有1个大和尚和3个小和尚，这样就可知大和尚有25人，小和尚有75人。这就是用分组法解答“鸡兔同笼”一类的具体问题。

如果用“鸡兔同笼”问题的常用解法，即用假设法来解答，我们可以这样解答：假如全部是大和尚，那么就会吃掉100×3=300个馒头，这样就多吃300-100=200个馒头。而把3个小和尚当作3个大和尚，就会多吃3×3-1=8个馒头，多吃8×2个馒头就是把3×2个小和尚当成3×2个大和尚了，多吃8x3个馒头就是把3×3个小和尚當成3×3个大和尚了……所以小和尚是200÷8×3=75个，大和尚是25个。

显然，分组法解答本题是最省事，学生也最容易理解的方法。不过，题目中有这样的信息：大、小和尚数是成比例关系的（从人数和馒头数都可以分成25组可知），即是可以分成组，分成1个大和尚带3个小和尚的小组，也就是1个大和尚和3个小和尚，2个大和尚和6个小和尚这样搭配成组的情况。

但如果大、小和尚数不成比例的话，用该分组法就解答不出了。我们不妨设计一个题2——百僧吃九十二馍：100个和尚吃92个馒头。大和尚1人吃3个，小和尚3人吃1个。求大、小和尚各多少人。

如果我们不仔细分析，一开始就用分组法来解答的话：92个馒头可以分成92÷（3+1）=23组，因此大和尚有23个，小和尚有100-23=77个。

我们马上就会发现，小和尚数目不对，不是3的倍数，为什么呢？这就回到题1——百僧吃百馍这问题的特殊性，馍跟和尚都是刚好可以分成25组，即他们是成比例的。而我们看题2，和尚可以分成100：-4=25组，但是92个馍只能分成92÷4=23组，可见他们是不成比例的，所以本题用假设法求解才对。用假设法我们可以这样解答：假如全部是大和尚，那么就会吃掉100×3=300个馒头，这样就多吃300-92=208个馒头。而把3个小和尚当作3个大和尚，就会多吃3×3-1=8个馒头，也就是每多出8个馒头就是把3个小和尚当成3个大和尚了，所以小和尚是208÷8×3=78个，大和尚是22个。

如果我们把题2改造成一个成比例的数字关系，出题3：假如我们学校四年级45个师生开展植树比赛，教师1人可以植树3棵，学生2人可以植树l棵，共植树60棵，求教师、学生各多少人。

此时，因为师生分组数为45÷（1+2）=15组，和种植的树的分组数60÷（3+1）=15组是相同的，即师生数是成比例的，所以用分组法解答本题是最快捷的，即教师15人，学生30人。而该题用假设法解答就较费事：假如全部是教师，那么就可以植树45×3=135棵，这样就多出135-60=75棵。把2个学生当作2个教师，每次就会多出3×2-1=5棵，也就是每多出5棵树就是把2个学生当成2个教师了，所以学生是75+5x2=30个，教师是45-30=15个。

笔者在这里研究不成比例的数量关系，即题2的这种情况，在正常授课时是不一定要拓展的。教师们讲解“百僧吃百馍”的问题时，需注意其中的“成比例”（分组数相同）问题。教师是有必要了解到这一点的，否则，所提供的分组法就还有逻辑上的缺陷。