建模：儿童数学思维发轫的助推器

杨剑英

我至今还清晰的记得，上高中时，物理老师发的第一张练习题的中缝，赫然印着这样一句话：数学是上帝用来书写宇宙的语言。后来知道，这是意大利数学家、物理学家、天文学家、科学革命的先驱伽利略的一句名言。物理老师这么尊崇数学，使我对这门古老的学科产生了别样的情感，让我觉得，数学可能是基础，不仅仅是理科的基础，也是人類思维的基础。

后来我学文科了，但是，文科依旧离不开数学，因为高考要考，只是难度不同于理科罢了。在应试教育的昨天，随着大学的专业的学习，许许多多高中所学的数学知识抛之九霄云外了，但是，一些数学思维的方法却深深地烙在了脑海中，也许，这就是爱因斯坦所言：走出校门后，把学校里学的知识全部忘记，剩下的东西就是教育。

在2015年9月23日上午第二节，我走进了王斐斐老师的三年级的数学课堂，聆听了她讲授的《搭配》一课。一同听课的还有区、市教研室的教研员和教研室主任们，好在王老师不认识他们，她在课上并没有过多的思想压力，讲的自然流畅，学生也学得认真投入，浑然不管你是什么领导在听课。我心中窃喜：这才是为了儿童的教学！这才是为了儿童的课堂！

短短的40分钟，三年级数学课堂教学的内容并不多，但是王老师始终把数学建模的思想贯穿其中，并把建模作为儿童思维发轫的助推器，助力三年级小孩子们的数学思维发展。

《义务教育数学课程标准》中指出，在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。其中，模型思想至关重要，因为，模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。

一、“上衣和裙子有几种搭配方法？”：从实际问题到数学模型

王老师在课的开始，把不同颜色的两件上衣和三件裙子的小剪纸贴在黑板上，她首先提出了一个问题，什么叫做“搭配”？三年级的儿童对“搭配”的概念不一定完全讲得清楚，有几个孩子陆续的以自己的话语系统，阐释了对“搭配”的理解。

这可能就是英国著名物理化学家、思想家波兰尼说的“缄默知识”吧！波兰尼认为人类的知识有两种，通常所说的知识是用书面文字或地图、数学公式来表达的，这只是知识的一种形式，还有一种知识是不能系统表述的，例如我们有关自己行为的某种知识，就不能系统表述。如果我们将前一种知识称为显性知识的话，那么我们就可以将后一种知识称为缄默知识。我认为，缄默知识是相对的。在儿童的思维发展过程中，某种知识在一定阶段对某些儿童来说是“缄默知识”，而在另一阶段对另一些儿童来说可能就是“显性知识”。当然，有的知识可能永远都是缄默知识，比如某些生活体验，只可意会不能言传。课堂上，尽管学生不能完整或者较完整的说出“搭配”的含义，但是，通过后来的实际操作，我发现孩子们都理解了。

“搭配上衣和裙子”也就是生活中的穿衣服，这是一种生活的实际问题，“有几种搭配的方法？”，就是从现实生活中抽象出的数学问题。由此，学生开始体会和理解数学与外部世界联系，也就是体会和理解“有几种搭配的方法？”的数学问题和实际生活“穿衣服”的联系，开始有了初步的数学模型思想了。

二、“请同学们把几种搭配的方法展示出来”：小中见大的建模过程

当学生在各自的小展板上把所有的搭配方法列出来的时候，王老师让大家把“成果”展示到讲台的大黑板上。一种，两种，三种……学生竟然搞出了五种思路，一一展示给大家，同学们互相分享了不同的“搭配”思路和方法。作为听课的我们，也拓展了对此问题的看法，原来孩子们的思维是这样的活跃！

王老师在引导孩子们“思考——动手——展示”的过程，小中见大，其实就是一个建模的过程。理论上讲，数学建模的过程有七步：模型准备——模型假设——模型建立——模型求解——模型分析——模型检验——模型应用与推广。王老师在这个小小的问题中，把这七步都做到了，完成了一个完整的数学建模过程。

在模型准备中，王老师让孩子们明确了“衣裙搭配”的实际意义，掌握两件上衣和三件裙子的信息。“有几种搭配方法？”，进而用数学语言来描述问题，符合数学理论，符合数学习惯，清晰准确。在模型假设中，王老师根据“衣裙搭配”的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设，例如：王老师提出“假设一件上衣不变，可以搭配几条裙子呀？”“同学们，试着搭配一下！”这样的话语，提出问题的假设。在模型建立中，王老师引导学生在假设的基础上，利用适当的连线、排列、分组等数学工具来描述“上衣”和“裙子”搭配之间的数学关系，建立相应的数学结构。在模型求解中，王老师引导学生们利用获取的数据资料“2件上衣”和“3条裙子”，对模型的所有参数做出计算，学生这时候的计算方法有多种，有的用加法，有的用乘法。在模型分析中，王老师让不同思路的学生上台对其思路进行阐述，对所得的结果进行数学上的分析，学生的思路非常广泛，表现也很踊跃，体现了这节课的思维含量。在模型检验中，王老师引导孩子们将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。因为只有“两件上衣和三件裙子的搭配”，所以，学生们的模型分析结果和实际情形是一致的，总共有“6种搭配方法”。在模型应用与推广中，王老师做了一个大胆的尝试，因为学生习惯于用加法的思维考虑这种搭配问题，当实际情形数量少的时候，可以用加法完成，王老师问“当20件上衣和30件裙子搭配时，有多少种搭配方法呢？”，显然用加法一一相加不现实了，学生们和自然的选择了20X30=600的计算方法。模型的推广就是在现有模型的基础上对模型有一个更加全面，考虑更符合现实情况的模型，这样，学生就对数学问题中的数量关系和变化规律，建立了一个更加符合现实情况的模型了，不再是一味追求加法的思维定式。

三、“他们是怎样做到搭配的不重复、不遗漏的？”：反思建模对儿童数学思维发轫的助推作用

同时听课的青岛市教育局数学教研员刘老师告诉我，这节课就是培养孩子们“有序思考”的能力，因此，在衣裙搭配上，孩子们能避免“搭配的不重复、不遗漏”，思维训练的目标就是达成了。

王老师在学生上台展示的过程中，把“他们是怎样做到搭配的不重复、不遗漏的？”这个问题，重重的抛给了学生，而学生却一一解答出来。

在现实生活中，要描述一个实际现象可以有很多种方式，比如录音、录像、比喻、传言等等。为了使描述更具科学性，逻辑性，客观性和可重复性，人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学。王老师在本节课中描述“搭配”这种有序思考时，就用了“不重复、不遗漏”的严格的数学语言。数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程。

学生们用建模检验告诉我们，他们理解了“不重复、不遗漏”的“搭配”有序思考，这也是一种缄默知识，只可意会，不可言传。

在数学建模——大赛中国的赛事资讯中提到，数学模型一般并非现实问题的直接翻版，它的建立常常既需要人们对现实问题深入细微的观察和分析，又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识。这种应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程就称为数学建模。

无疑，儿童数学思维的发轫，并不是让儿童对现实问题（例如本节课的衣裙搭配问题）的直接描述或者复述，而是需要儿童对现实问题进行细致的观察、分析、思考，又要用数学符号表示出来，或者是加法，或者是乘法，当然，一开始能想到用乘法的儿童，他们对已经学过的一二年级的数学知识灵活运用了，科学的数学思维初现端倪。

有人说，数学建模是一个让纯粹数学家变成物理学家、生物学家、经济学家甚至心理学家等等的过程。也就是说，不论是用数学方法在科技领域、生产领域、甚至社会科学领域解决哪类实际问题，还是与其它学科相结合形成交叉学科，首要的和关键的一步是建立研究对象的数学模型，并加以计算求解，当然，在当今利用计算机辅助求解，会更迅捷、准确。这就是数学思维。

儿童时期数学思维的发轫，对其一生的思维发展影响很大。因而，在数学教学中贯穿建模思想，助推儿童数学思维的发展，便成了每一位数学启蒙教育者肩头的重任了。