智性抽象概念 提升思维素养
——“分数的初步认识”教学实录与思考
2017-05-07
【本文系江苏省教育科学“十三五”规划课题“旨在核心素养提升的小学数学‘智性学习’理论与实践研究”（批准号：D/2016/02/77）的研究成果之一。】
一、重构历史情境，再创造分数
师：小朋友们，喜欢听故事吗？今天的数学课上老师就和大家一起编故事，学数学。
（画外音：古时候，有一个人只会打猎，有一个人只会捕鱼……）
师：今天老师来表演故事中的猎人，那你们表演——
生：故事中的渔夫。
师：哎，打猎打猎，天天吃肉，多腻呀。
生：哎，捕鱼捕鱼，天天吃鱼，一点儿也不想吃鱼了。
师：我好想吃鱼哦。
生：我好想吃肉啊。要不咱们就——换着吃。
师：那怎么换呢？
（课件出示图1：两条鱼换一块肉）
图1
师：有一天，捕鱼的拿4条鱼来换，他能换我几块肉呢？
生：4条鱼换2块肉。
（画外音：这样打猎的天天有鱼吃，捕鱼的天天有肉吃，日子过得无比幸福。直到有一天，捕鱼的只抓到一条鱼。捕鱼的犯愁了：两条鱼换一块肉，我会呀。今天只有一条鱼，怎么换呢）
生：一条鱼可以换半块肉。
师：半块（很吃惊的样子），还能用这些自然数表示吗？（指着 1、2、4）看来，过去学过的自然数在这里不管用了，1都嫌大了，我们要创造一种新的数来表示半块肉。那怎么得到半块肉？
生：切一半。
师：看来得把这块肉分一分，捕鱼的看仔细了，（很得意的样子）我开始分了，把半块肉拿去吧。（如图 2）
图2
生：不对，这半块太小了。
师：不对吗？（故作惊讶）我切的就是半块呀，你看！是你们没说清楚，再给你们一次机会，请说清楚让我怎么分。
生：应该从最中间切开。
师：从最中间切开意味着什么？
生：平均分。
师：平均分，我会呀。捕鱼的，看仔细，我开始分了，来，拿去吧。（如图 3）
（沾沾自喜的样子）
图3
生：不对，不对。
师：怎么又不对了？看来光说平均分还不行，那你们得给我说清楚，到底怎么平均分。
生：平均分，分成2份。
师：你要几份？
生：要1份。
师：谁能把这种分法完整地说一下？
生：把一块肉平均分，分成2份，要1份。
师：哦，这样说我就会分了。看清楚，是不是这样分？（如图4）谁来总结一下，怎样分出半块肉才符合我们的公平交换协议？
图4
教学思考：从整数到分数是数的概念的一次扩展，无论在意义上还是在读写上，分数和整数都有很大的差别。从数学发展史的角度来看，分数是在度量、分物时不能正好得到整数结果的背景下产生的。怎样让孩子在数学情境中，自然萌发出当用“1”表示都嫌大时，需要一种新的数来表示的需求呢？学生的知识经验里有“平均分”的认识，如“把1块肉平均分成2份”，学生知道每份是“半块”。但学生的经验具有原始、肤浅、片面、模糊等特点，不同的学生对“半个”的理解有不同的含义，如“大半个”“小半个”“半个”。怎样把错误的、模糊的经验转化为正确的、清晰的经验，再基于正确的经验建构数学概念？为此，老师创设了以鱼换肉的故事情境，和孩子分别扮演猎人和渔夫，在充满悬念的故事情境中，学生不知不觉进入自己的“课堂角色”，在寓教于乐的轻松氛围中，巧妙地将一个规定性数学概念转化为一个探索性的数学问题。故事情节层层递进，娓娓道来，在不断调整中，学生逐步明晰确定一个分数，必须把握住三个要点：平均分、分成几份、取几份。这三个要点紧密联系，缺一不可，把握住了分数的三个要点，也就抓住了分数的本质，建构了分数模型。
二、立足思维提升，紧扣本质建构模型
师：第二天，捕鱼的又抓到了一条鱼，谁来说说我的肉怎么换给他？
（生：答略）
师：第三天，又捕到了一条鱼，怎么换我的肉？
（生：答略）
师：看来要说清楚半块肉，得说清哪几件事？
生：要说清楚半块肉，就要说清三件事：平均分、分成 2份、拿1份。
师：每次都要说清楚三件事，有什么感觉？
生：换半块肉，要说清楚三点，觉得很麻烦。
师：你们捕鱼的，天天吃鱼，一定比我聪明，那能不能创造一种新的写法（画法）表示出这三个要点？自己动手在作业纸上写一写、画一画，然后在小组里交流一下。
（生汇报。如图 5）
图5
师：哇，这么多表示的方法！捕鱼的，凡是能表达清楚三个要点的，都是可行的。数学的表达本身是很自由的，同时数学又是追求简洁的，现在数学上是这样规定的：先写短横（表示平均分），然后写分成的份数（写分母2），再写拿走的份数（写分子1）。这就是我们今天创造的第一个新的数，读作：二分之一。
师：现在谁来告诉我一条鱼能换几块肉？
师：用一个数就把我们要表达的三件事都说清楚了，看看数学多简洁！分肉分出了新的数，生活中哪儿还有呢？
……
（生汇报。如图6）
图6
生：这没有什么奇怪的，就像数1，既可以表示1张课桌，又可以表示1本书、1个小朋友……也可以表示很多内容，凡是符合平均分、分成2份、拿1份这三个要点，都可以用表示。
（生汇报，如图7）
图7
师：观察大家表示的，有什么不同？又有什么相同？
生：形状各不相同，但都是平均分、分成4份、拿1份。
师：看来大家已经明白了的意思，那判断一下下面图形里的涂色部分能用表示吗？（如图8）
图8
师：大家还创造了哪些不同的新数？
……
三、注重概念创生，经历过程深化认识
师：当用1表示都嫌大时，我们一起创造了这些新的数，这些新的数有一个共同的名字，你们知道吗？
生：几分之几数。
生：全分之几数。
生：分数。
师：多好的想法，能说说这样取名的道理吗？
生：今天认识的新的数，都是表示一个物体的几份中的几份，所以我把它叫作“几分之几数”。
生：我是这样想的，今天学习的数，都是把一个物体平均分成几份，拿全部份数中的几份，所以我给它取名为“全分之几数”。
生：我是观察“分”字，发现这个字的下面是一个“刀”字，联想到今天得到的数都是分出来的，所以叫“分数”。
师：分数——多好的名字，先分后数，与数学家的想法不谋而合。分数，它的各个部分都有自己的名字，谁来介绍一下分数各部分的名称？
（生答略）
师：孩子们，当用1表示都嫌大时，我们就可以用——分数来表示。分数在生活中不常见，它喜欢悄悄地藏在某个角落里，需要我们用数学的眼光去发现。接下来我们一起欣赏一段《蒙牛：一杯牛奶的责任》广告，看谁能从中找到分数？
师：你从广告中获得了什么数学信息？
生：扫15个二维码可以换一杯牛奶。
师：你能从中发现分数吗？
……
师：孩子们，这节课的学习就要结束了，回顾一下这节课的学习，你觉得有哪些收获？
（生答略）
师：概括得很好。孩子们，今天我们认识的分数，在历史上，与自然数一样古老，让我们一起了解一下分数的发展史。
（介绍分数演变的历史）
教学思考：今天的数学课堂肯定没有办法“原样重复”历史上的重大时刻，但是我们可以通过模拟情境创设，营造“危机时刻”，造成强烈的认知冲突，以此激发儿童“重新命名”新概念的欲望，让数学观念得以“诞生”。从儿童的角度讲，就是他们自己的发明和创造！
