用数学眼光看世界——中秋节与数学趣题

中秋节临近，在一个微信群里，群主发来祝福信息（如图1）。发现牵涉到数学，为之一乐：

图1

看完选项，想必读者已经知道答案了（记得是群主发的信息哦）。那么这个需要真诚面对的“事实”是什么呢？我们随便选一个数字，比如2，按照信息所说的操作步骤，得（2×3+3）×3=27，然后将 2和7相加，得到9，对应的选项是群主。

我们再看看一般性的情况：

假设我们任选一个数字a，按照信息所说的操作步骤，得（a×3+3）×3=9a+9。因数字 a 介于 1 到 9之间，所以9a+9一定是一个不超过90的两位数。把这个数的个位和十位上的数相加，那么该如何证明所得的和是9呢？这里提供两种方法：

方法一：所得两位数可以改写为9（a+1），一定是9的倍数。满足条件的两位数包括18、27、36、45、54、63、72、81、90（没有 99）。不难看出，这些两位数中任意一个数的个位和十位上的数之和均是9。其实，这正是9的倍数的特征：能被9整除的自然数，其各个数位上的数字之和必是9的倍数。因为结果是不大于90的两位数，所以十位和个位上的数之和只能是9，而不会是18或更大的倍数。

方法二：更一般地，假设所得的两位数是mn，即mn=9a+9。现在要计算 m+n。容易知道：mn=m×10+n，改写一下即得9m+m+n=9a+9。这个等式等号左右两边是恒等的，所以m=a，m+n=9。看来“事实”无可辩驳，只好真诚面对了！

不过，有时候我们面对一些数时也不要太“真诚”，下面一例也与中秋节有关（如图2）：

图2 中秋打折的诱惑

最后再看一例，也能与中秋节搭上关系呢。最近在地铁站见到悬挂着烘托中秋节气氛的灯笼（如图3），当下一乐，便发到微信群里让大家猜猜中间那个叫什么体，看看大家的反应。

图3 中秋灯饰中的数学

结果发现，朋友们（其中只有少数是数学老师）的回答有物体、立体等，以多面体居多，也有人答十面体或十二面体。看得出来，数学味道渐渐浓厚，但不是我真正想要的答案。这不奇怪，学生在学校学习的立体，以正正规规的居多，如正方体、长方体、锥体（圆锥或棱锥）、柱体（圆柱和棱柱）和球体。倘若教师讲得深入一点，会涉及五个重要的正多面体（也叫Plato多面体），即正四、正六、正八、正十二和正二十面体，这与凸多面体的欧拉公式联系紧密 （有兴趣的读者可进一步查找资料）。而像图3中间那个立体，无论在课堂上还是课外都比较少见，即使见到也未必会去想是什么名字。叫不出名字，也许是因为不常见，也许是因为我们从来不会去教这些！但学校教育的目标之一，不就是要学生发现周围世界的数学吗？

言归正传，图3中间那个立体其实有来头，全名叫阿基米德多面体 (Archimedean polyhedra)，是由至少两种正多边形所组成的凸多面体，且要求每个顶点的组成均一致。阿基米德多面体共有 13种（有兴趣的读者可以进一步自行搜寻）。手工制作这些立体并不难。以正方体为例，在正方体的每一个定点处削去一个正四面体 （即正三棱锥），即得一个阿基米德多面体（如图4）。

图4 阿基米德多面体的制作

这种并不常见的立体完全可以在课堂上介绍给学生，甚至可由学生自行制作出来（折纸是可以做到的）。其实，现实生活中会出现各种各样的数学元素，或数字，或图像，或图形，或立体……作为教师，我们常常跟学生说：数学无处不在。我们也要进一步问（问自己也问学生）：数学到底在哪儿？用一双数学的眼睛去看世界，也别有乐趣。