活用教材 渗透“极限”

王炎萍

极限思想是一种重要的数学思想，灵活地借助极限思想，可以将某些数学问题化难为易，探索出解题方向或转化途径。那么，在小学数学教学中如何去挖掘“极限”并适时地加以渗透呢？下面笔者结合教学实践谈谈自己的粗浅见解。

一、在形成新概念时渗透极限思想

小学几何概念中有许多概念是具有无限性的，如直线、射线、角的边、平行线的长度等，它们都是可以无限延伸的。这些概念在现实生活中并不是真实存在的（现实生活中你找不到一条能无限延伸的线），它们只是存在于人脑的想象中，而这种想象又是进一步学习数学的必不可少的基础能力。

【案例1】射线的初步认识

师：请同学们在白纸上画一条3厘米长的线段，说一说它有什么特点。

生：它是直的，用尺可以量出长度；它有两个端点……

师：请同学们在白纸上画一条5厘米长的直线，有什么问题？

生a：好了！（得意）

生b：不对！（反对）直线是没有长短的……

师：为什么？

生：因为直线可以向两边无限延长。

师：无限延长是什么意思？

生：就是无限的长，没完没了的意思……

师：（用红外线光电筒照在黑板上）请同学们画出来。

师：（打开窗户，将红外线光电筒照射向天空）如果光束没有受到阻碍的话，请你画出来……

（学生画的线有很多种情况，请学生自己说出自己的理由，交流反馈）

师：这就是我们今天要学的射线。

让学生一下子认识到图形的无限性是有一定难度的，上面的教学片段中，教师通过让学生自己动手，在认知上建立起对“线段”“射线”“直线”的矛盾冲突，这样巧妙的教学设计使得学生轻松地建立了对“直线”“射线”的“无限”的空间感观，真实、自然又不失严密。在我们周围的事物中，是找不到那种可以真正地被看成是“无限的直线”的东西的。那么今后学生因为想象出了无限的直线，他们的空间图形观念则产生了质的飞跃，因为借助于这样的直线去认识世界，将比没有它要方便得多。学生在教师的引领下，走出有限的几何观念，形成无限的几何观念，极限思想在图形概念形成初期呼之欲出，迸发出绚丽的色彩！

二、在公式推导过程中渗透极限思想

数学思想方法呈隐蔽形式，渗透在学生获得知识和解决问题的过程中，如果能有效地引导学生经历知识形成的过程，让学生在观察、实验、分析、抽象、概括的过程中，看到知识背后负载的方法、蕴涵的思想，那么，学生所掌握的知识才是鲜活的，可迁移的，学生的数学素养才能得到质的飞跃。我们要力争做到让学生以后即使具体的知识忘了，但用数学来思考问题的方法还常存于脑中。

【案例2】圆的面积

师：我们学过了一些图形的面积计算公式，今天我们来研究圆的面积公式。你们有什么办法吗？

生：可以把圆转化为我们学过的图形。

师：怎么转化？

生：把圆平均分。（大屏幕上演示把圆平均分成了2份，把两个半圆使劲地拼，结果还是一个圆）

师：转化不成已经学过的图形，怎么回事？

生：平均分的份数不够多。

师：是这样吗？那我们分得多一些，请大家仔细观察。（演示把一个圆分割为完全相同的小扇形，并试图拼成长方形。从平均分成4个、8个到16个）

師：你们有什么发现？同桌轻轻交流一下。

生1：16个拼起来，比较像长方形。

生2：分的份数越多，拼成的图形就越接近长方形。

师：你们都同意他们的看法吗？（学生表示同意）那我们再来分一分这个圆。（课件演示把圆平均分成32个、64个……完全相同的小扇形）

师：大家再仔细看一看，想一想，如果一直这样分下去，拼下去会怎样？

生1：拼成的图形就真的变成了长方形，因为边越来越直了。

师：拼成的长方形与原来的这个圆究竟有怎样的关系啊？

……

这个过程中采用了“变曲为直”“化圆为方”极限分割思路。从“分的份数越来越多”到“这样一直分下去”的过程就是“无限”的过程，“图形就真的变成了长方形”就是获得的结果。通过有限想象无限，根据图形分割拼合的变化趋势，想象它们的最终结果，让学生既掌握了计算公式，又萌发了无限逼近的极限思想。学生经历了从无限到极限的过程，感悟了极限思想的巨大价值，学生有了这个基础，到将来学习圆柱体积公式的推导时就会很自然地联想到这种办法，从而再一次加以利用解决问题，在不断的应用中学生的极限思想会潜移默化地形成。

三、在数的认识过程中渗透极限思想

小学生从一年级开始就认识了自然数0、1、2、3…同时知道每个自然数加1就等于它的后继数。到了认识亿以内的数时，进一步知道了最小的自然数是0，没有最大的自然数，自然数的个数是无限的。也就是说，任意给定一个足够大的自然数n，只需要把它加1就会得到一个更大的自然数n+1，n+1>n，所以总是找不到一个最大的自然数，从而体会到自然数数列的无限多和趋向无穷大。由此可以推广到奇数、偶数、一个数的倍数、两个数的公倍数等都没有最大的，都有无限多个。在学习分数的基本性质时，学生知道分母不同、分数值相等的分数有无限多个。整数和有限小数化成分数是大家非常熟悉的，那么，循环小数怎样化成分数呢？

【案例3】把循环小数0.999…化成分数

分析：0.999…是一个循环小数，也就是说，它的小数部分的位数有无限多个。对于小学生来说，能够接受的方法就是数形结合思想和极限思想的共同应用和渗透，通过构造一个直观的几何图形来描述极限思想。先看这个数列：0.9， 0.09、0.009、…用数形结合的思想，把这个数列用线段构造如下：把一条长度是1的线段，先平均分成10份，取其中的9份，然后把剩下的1份再平均分成10份，取其中的9份……所有取走的线段的长度是：0.9+0.09+0.009+…=0.999…如此无限地取下去，剩下的线段长度趋向于0，取走的长度趋向于1，根据极限思想，可得0.999…=1。

通过这个例子进一步说明，极限方法只关注一个无限的变化过程的确定趋势是什么，只要趋势确定并且符合极限的定义，那么这个无限变化的过程的结果就用极限来表示，它就是一个解决问题的方法而已，只要符合极限的规则和逻辑，就可以用极限来表示无限变化的过程的结果，它并不关心这个无限变化的过程何时能到达极限，它在本质上不同于有限个数的和。

四、在实际应用中渗透极限思想

在学习分数基本性质后的练习中，要求学生在1分钟内写一些二分之一相等的分数。学生尝试写了一些后，教师追问：“如果有时间让你们继续写，还能写吗？”如果单从解题的角度看，学生很容易找到答案，而且不会费时太多，但学生还没有得到此题的精髓，也就是题中包含着什么样的规律，体现了怎样的数学思想，教师还应该给学生挖出来。这能为他们将来学习极限理论、提高抽象思维做很好的铺垫。

【案例4】用转化的策略解决问题

计算：1/2+1/4+1/8+1/16

师：仔细观察这个算式有什么特点？

生：任意相邻的两个分数，后一个分数总是前一个分数的一半。

师：用什么方法求和？

生1：通分转化。

生2：可以转化成小数求和。

师：还有不同的方法吗？

生：用数形結合的方法。

交流：先画一个大正方形，它的面积是1，先“取”其1/2，再“取”剩下的1/2，也就是整个图形面积的1/4，依次不断“取”下去，从图中可以直观地发现：1/2+1/4+1/8+1/16=1-1/16=15/16

在此基础上可以把问题进一步变化为：1/2+1/4+1/8+

1/16+1/32+1/64+…=？用数形结合的方法，从图中直观地看出随着加数的不断增加，空白部分的面积逐渐扩大，并且越来越接近正方形的面积，即不断地逼近1，当有无限多项相加时其结果为1。

通过多种办法的解决，学生在收获知识的同时，也为以后思考问题提供了多种可能，培养了思维的灵活性。

总之，极限思想是人类思想文化宝库中的瑰宝，是对数学知识的本质反映，是知识向能力转化的纽带。在小学数学教材中，能够体现数学极限思想方法的因素极为广泛，教师在教学中应该刻意挖掘，并适时将这一思想和方法适度地渗透给学生，这样学生得到的就不只是数学知识，更重要的是一种科学的数学素养。