有机渗透数形结合思想方法 切实提高初中生解题能力

陈立顺

摘要：本文主要探究了如何有机地渗透数形结合思想，才能提高学生的解题能力。若有不之处，还望同仁批评指正。

关键词：数形结合；初中生；解题能力

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）02-0093

新课标在课程目标设置上明确提出：通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学基本知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。可见，新课标把数学思想摆到了十分重要的位置。我们知道，作为从三大数学基本思想之一的“抽象思想”派生出来的数形结合思想方法在初中数学中有特殊的地位和作用，它是学生形成良好数学素养和解题能力的重要因素。因为“数”和“形”是数学中两个最基本的概念。“数”是数量关系的体现，而“形”则是空间形式的体现。它们两者既对立，又统一。我们在研究数量关系时，有时要借助于图形直观地研究，而在研究图形时，又常常借助于线段或角的数量关系去探求。而数形结合思想方法，正是把问题的数量关系和空间形式结合起来考查的一种思想，即以数论形构形，由形思数解数。也就是斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易。

那么，在初中数学教学中，怎样有机地渗透数形结合思想才能大力提高学生的解题能力呢？

一、要科学制定数形结合思想方法在整个初中阶段的渗透计划

数学教材体系有两条基本线索：一是显性的数学知识线，二是阴性的数学思想方法线。在教学中，我们常看到，很多教师忽视数学思想方法线的设计与教学。数学思想方法教学绝不是一蹴而就的，它以渗透为主要特征，具有长期性和反复性。因此，教师对初中重要的数学思想方法包括数形结合思想方法在内要有详尽的教学计划。数形结合思想方法的渗透应贯穿在整个初中数学教学过程。从有理数到实数，从代数式、方程、不等式到函数，从平行线相交线、三角形、四边形到圆，从数轴、坐标系到线性方程，从代数、几何到三角，无一内容不体现数形结合的思想方法。针对这些内容，教师要制定详细的渗透计划并加以实施，在每一块内容学习时都要不失时机地进行数形结合思想方法的渗透，并适时地开设数形结合思想方法专题课加以强化。让学生时刻都感受到，数形结合思想方法不仅是推动数学本身发展的重要方法和巨大动力，更是解决数学问题的重要法宝。“随风潜入夜，润物细无声”，只有这样，数形结合思想方法才能植入学生的思想意识，甚至变成学生的潜意识。从而在以后的学习和工作中发挥巨大而持久的作用，解题当然就更不在话下了。

二、在知识的教学过程中不失时机地归纳提炼数形结合思想方法

数学思想方法的渗透有两条基本途径：其中一条就是要在知识的教学过程中不失时机地归纳提炼数学思想方法，数形结合思想方法的渗透也是如此。我们对“数形结合”中的“数”应有广义的理解，它可以是一般意义上的数，如实数：可以是表示数的式，如代数式、方程、不等式；也可以是函数等变数。“形”当然是各种形式图形表示。我们知道，数学中很多“数”和“形”的概念、性质、定理都是可以用数形结合思想方法来进行描述和研究的。教师在这些知识的教学过程中一定要不失时机地归纳提炼其中蕴含的数形结合思想方法。即在进行“数”的教学时，要以数论形构形，在“形”的教学时也要由形思数解数。如在实数的相反数、倒数、绝对值的教学中可以引进数轴，用数轴加深学生对这些知识的理解；在方程（组）及不等式（组）的解的教学中，可以引进相应函数的图像，用函数的图像加深学生的理解；一些图形的位置关系及大小关系也可以用数、代数式、方程、不等式及函数等数的模型来刻画等。这样，不仅能使學生理解知识变得容易，而且理解得更为广阔和深刻。久而久之，学生在遇到“数”或“形”的难题时，会自然地想到从“形”或“数”的领域去突破，从而提高学生解决问题的能力。如当学生习惯了看到代数式|x-1|就联想到它的几何意义时，面对下列问题：“求|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值（x为实数）”。学生就不难找到解题思路了。

例1. 已知x为实数，求|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值。

分析 由于x的任意性、无限性，逐个求值解题明显困难，若按x<1、1≤x<2、2≤x<3、x≥3四种情况分段讨论后求最小值也较繁。繁则思变，可联想到绝对值的几何意义：|x-1|表示数轴上实数x和1所对应的两点之间的距离，于是求|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值可转化为在数轴上找出表示x的点P，使它到表示1，2，3各点的距离之和最小。现退到更简单的情形，如图①，如果直线上有两个点A1和A2，很明显设在A1和A2之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于A1到A2的距离。如图②，如果直线上有3个点时，不难判断，当点P在点A2处最合适。因为如果P放在A2处，则点P到A1、A2、A3的距离之和恰好为A1到A3的距离。而如果把P放在别处，例如D处，那么点P到A1、A3的距离之和仍是A1到A3的距离，但多了一段点A2到D的距离。因此，P放在A2处是最佳选择。当x=2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|的值最小。

解：当x=2时，原式的值最小。

最小值是：|2-1|+|2-2|+|2-3|=1+0+1=2

类似地，如果上述直线上有奇数点，P就放在中间的点的位置，如果有偶数点，P就放在中间两个点之间（包括最中间两个点）的任何一个位置，即当n为偶数时，P应设在第 台和（ +1）台之间的任何地方，当n为奇数时，P应设在第 台的位置。

又如，在讲勾股定理时，要使学生联想到直角边分别为a和b的直角三角形斜边可表示为代数式 ，在讲二次根式 时，又要使联想到它可表示直角边分别为a和b的直角三角形的斜边。这样，学生就可以自主解决下列问题了。

例2. 求出代数式 + （x为实数）的最小值。

分析：利用代数方法求代数式 + 的最小值很困难，可联想勾股定理构造直角三角形来求。