无处不在的充分必要条件

■山东枣庄二中 杨文金

一、考向分析

充分必要条件的判断是历年高考的热点之一,这类试题在考查题型上,通常以选择题或填空题的形式出现,难度较小,往往与数列、不等式性质、函数性质、集合运算、平面向量、立体几何等数学知识有联系。

二、解题技巧

解决此类问题一般先确定谁是条件谁是结论,然后要确定充要条件问题的类型。若是充要条件的判断问题,需要根据条件和结论选择合适方法判断;若是已知充要条件求参数范围问题,通常转化为集合间的包含关系,借助数组求解。

对充要条件判定问题,首先,要确定谁是条件谁是结论,其次,要确定适合哪类判定方法。常用的判定方法有:(1)根据定义。若p⇒q,q⇒/ p,那么p是q的充分不必要条件,同时q是p的必要不充分条件;若p⇔q,那么p和q互为充要条件;若p⇒/ q,q⇒/ p,那就是既不充分也不必要条件。(2)当命题是以集合形式给出时,那就看包含关系。若p:x∈A,q:x∈B,若A≠B,那么p是q的充分不必要条件,同时q是p的必要不充分条件;若A=B,那么p与q互为充要条件;若没有包含关系,就是既不充分也不必要条件。(3)利用命题的等价性。根据互为逆否命题的两个命题等价,将p是q条件的判断,转化为﹁q是﹁p条件的判断。

三、防错指导

1.在处理充要条件问题时,要分清谁是条件谁是结论,注意A是B的充分不必要条件与A的充分不必要条件为B的区别。

2.注意充分条件与充分不必要条件的区别:充分条件包括充分不必要条件与充要条件,条件集合是结论集合的子集,而充分不必要条件则条件集合是结论集合的真子集。

3.注意必要条件与必要不充分条件的区别:必要条件包括充要条件与必要不充分条件,结论集合是条件集合的子集,而必要不充分条件则结论集合是条件集合的真子集。

四、考题举例

考题1：充要条件与集合

(2017年河南郑州三模)已知集合A={x|lgx≥0},B={x|2x≤4},C={x|x-4( )x+2( )≤0},则“x∈A∩B”是“x∈C”的 ( )。

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：由题意可得:A={x|x≥1},B={x|x≤2},C={x|-2≤x≤4},则A∩B={x|1≤x≤2},则“x∈A∩B”是“x∈C”的充分不必要条件。故选A。

考题2：充要条件与函数

(2017年山东日照三模)已知函数g(x)的定义域为{x|x≠0},且g(x)≠0。设p:函数f(x)=g(x)数,q:函数g(x)是奇函数,则p是q的( )。

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：由函数f(x)=g(x)是偶函数,可得f(-x)=f(x),故g(-x)=-g(x),所以函数g(x)是奇函数,充分条件成立。当函数g(x)是奇函数时,有g(-x)=-g(x),又g(x)=,可得函数f(-x)=f(x),所以函数f(x)是偶函数,即必要条件也成立。所以p是q的充要条件。

考题3：充要条件与三角函数

(2017年高考天津卷,理4)设θ∈R,则“”是 “sinθ＜”的( )。

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：⇒sinθ＜,但θ=0,sinθ＜,不满足＜,所以是充分不必要条件,应选A。

(2017年炎德英才大联考)已知函数f(x)=4sin2+x)-23cos2x-1,且给定条件p:“≤x≤”,条 件q:“＜2”,若p是q的充分不必要条件,则实数m的取值范围是( )。

A.(3,5) B.[3,5]

C.(2,4) D.[2,4]

当≤x≤时,≤2x-,则≤sin(2x)≤1,所以f(x)∈ [3 ,5],又当＜2 时,f(x)∈(m-2,m+2)。若p是q的充分不必要条件,则,所以3＜m＜5,故选A。

考题4：充要条件与平面向量

(2017年河北武邑中学高三下学期第四次模拟)设向量a=(x -1,x),b=(x+2,x-4),则 “a⊥b”是 “x=2”

解析：若“a⊥b”,则a·b=(x-1,x)·(x+2,x-4)=(x-1)(x+2)+x(x-4)=2x2-3x-2=0,则x=2或x=。若“x=2”,则a·b=0,即“a⊥b”。所以“a⊥b”是“x=2”的必要不充分条件。故选B。

考题5：充要条件与数列

(2017年青海西宁二模)在△ABC中,A,B,C成等差数列是(b+a-c)·(b-a+c)=ac的( )。

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：(1)若A,B,C成等差数列,则2B=A+C,所以3B=180°,B=60°。

故由余弦定理得b2=a2+c2-ac,a2+c2-b2=ac。

故(b+a-c)(b-a+c)=b2-(a-c)2=b2-a2-c2+2ac=-ac+2ac=ac。

可得出(b+a-c)(b-a+c)=ac,故A,B,C成等差数列是(b+a-c)(b-a+c)=ac的充分条件。

(2)若(b+a-c)(b-a+c)=ac,则b2-(a-c)2=b2-a2-c2+2ac=ac,故a2+c2-b2=ac。由余弦定理得a2+c2-b2=2ac·cosB。

故cosB,B=60°。故60°-A=180°-(A+60°)-60°,即B-A=C-B,故A,B,C成等差数列。的( )。

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

故A,B,C成等差数列是(b+a-c)(b-a+c)=ac的必要条件。

综上得,A,B,C成等差数列是(b+ac)(b-a+c)=ac的充要条件,故选C。

考题6：充要条件与不等式

(2017年辽宁实验中学高三下学期第六次模拟)设命题p:实数x,y满足x2+y2＜4,命题q:实数x,y满足则命题p是命题q的( )。

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：命题p表示的是图1中的圆的内部区域,命题q表示的是图1中的三角形区域ABC,所以p是q的既不充分也不必要条件。故选D。

图1

点评:对于判断与点集(x,y)的集合有关的命题关系时,我们可以画出两个集合或命题的图像,再根据小范围推大范围来判断两个集合或命题的关系,但是要注意两集合相等或命题等价的情况。

考题7：充要条件与立体几何

(2017年湖北黄冈高三三模)设m,n是空间两条直线,α,β是空间两个平面,则下列命题中不正确的是( )。

A.当n⊥α时,“n⊥β”是“α∥β”的充要条件

B.当m⊂α时,“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件

C.当m⊂α时,“n∥α”是“m∥n”的必要不充分条件

D.当m⊂α时,“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件

解析：当m⊂α时,“n∥α”⇒ “m∥n”或m与n异面,“m∥n”⇒“n∥α或n⊂α”,所以当m⊂α时,“n∥α”是“m∥n”的既不必要又不充分条件,故C错误;当m⊂α时,“m⊥β”⇒“α⊥β”,“α⊥β”推不出“m⊥β”,所以当m⊂α时,“m⊥β”是“α⊥β”,的充分不必要条件,故B正确;当n⊥α时,“n⊥β”⇔“α∥β”,所以当n⊥α时 ,“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件,故A正确;当m⊂α时,“n⊥α”⇒“m⊥n”,“m⊥n”推不出“n⊥α”,当m⊂α时,“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件,故D正确。故应选C。

考题8：充要条件与解析几何

(2017年河南洛阳高三月考)“a=”是“直线2ax+(a -1)y+2=0与直线(a +1)x+3ay+3=0垂直”的____条件(从“充分不必要”,“必要不充分”,“充要”,“既不充分又不必要”中选取一个填入)。

解析：若两条直线垂直,则2a(a +1)+3a(a -1)=0,解得a=0或a=,所以“a=”是“直线2ax+(a -1)y+2=0与直线(a +1)x+3ay+3=0垂直”的充分不必要条件。

考题9：充要条件与复数

(2017年江西鹰潭二模)“z=(其中i是虚数单位)是纯虚数”是“θ=+2kπ”的( )。

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

故θ=2kπ+(k ∈Z)或θ=2kπ+π(k ∈Z),结合题意可知:“z=-(其中i是虚数单位)是纯虚数”是“θ=+2kπ”的必要不充分条件,故应选B。