一道椭圆赛题的探究与思考

■江西省丰城中学 吴爱龙 刘卫琴 甘小荣

一、试题呈现

已知椭圆=1的右焦点为F,过F的直线y=k(x-1)交椭圆于P、Q两点(k≠0)。PQ的中点为N,O为原点,直线ON交直线x=3于M。

(1)求∠MFQ的大小;

(2)求的最大值。

这是2017年浙江省高中数学竞赛试题,考查了直线和椭圆的位置关系,线线垂直的判定,函数最值等问题及考生的运算与推理论证能力,还考查了“设而不求”、转化与化归、数形结合、函数与方程思想。该题属中档难度的考题。

本文对其作些探究,得到两个命题与变式,供同学们参考。

二、赛题探究

1.第(1)问探究

证明：如图1,设直线PQ交直线于G。

设P(x1,y1),Q(x2,y2),则:

图1

二 式 相 减 得,+。整理即得k·k=ON,所以k=ON

变式1 已知双曲线=1(a＞0,b＞0)的右焦点为F,过F的直线y=k(x-c)交双曲线右支于P、Q两点(k≠0)。若PQ的中点为N,O为原点,直线ON交直线x=于 点M,则∠MFQ=。

证明与上面类似,此处从略。

能否把结论进一步推广至抛物线呢?回答是肯定的。只需将条件稍作改动,便得以下结论。

变式2 已知抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F,过F的直线y=k()交抛物线于P、Q两点(k≠0)。若PQ的中点为N,直线NM垂直相交直线x=于点M,则∠MFQ=。

图2

证明：如图2所示,设直线PQ交直线x=于点G。

设P(x1,y1),Q(x2,y2),则=2px1,=2px2。

二式相减得(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2)。

在△MFG中,因为MH·GH=|yM|·|yG|=p2=FH2,所以∠MFQ=。

2第(2)问探究

命题2 已知椭圆=1(a＞b＞0)的右焦点为F,过F的直线y=k(x-c)交椭圆于P、Q两点(k≠0)。若PQ的中点为N,O为原点,直线ON交直线x=于M,则的最大值为

证明：如图1,以F为极点,射线Fx为极轴建立极坐标系,则椭圆的右准线极坐标方 程 为:ρ=设 ∠MFx=θ,则 MF=椭圆的极坐标方程为:

特别地,当时,便得上面赛题第(2)问的答案为。

三、点评与感悟

第(1)问证明过程中有两处不同于参考答案:一是采用了“点差法”得出结论“k·kON=;二是运用射影定理判断出∠MFQ=。而这两个知识点是同学们必须掌握的。第(2)问在求得∠MFQ的基础上灵活运用直线与椭圆的极坐标方程,简捷、巧妙地解题,也是参赛考生应该掌握的。