逻辑用语问题中的转化思想

■河北省保定市第一中学505班 周昭希

解数学题,归根到底就是从已知向结论转化的过程,善于转化,方可顺利解题。那么面对形式多样的常用逻辑用语问题,我们该如何转化呢?下面举例说明。

一、利用逆否命题的等价性转化

原命题与其逆否命题真假性一致。p⇒q是否成立,从正面判断比较难,可判断其逆否命题的真假。

若p:x+y≠5,q:x≠2或y≠3,则“p⇒q”是____命题。(填“真”或“假”)

解析：考虑逆否命题:﹁p:x+y=5,﹁q:x=2且y=3,显然有﹁q⇒﹁p,故“p⇒q”是真命题。填“真”。

评注:判断命题真假的方法有:(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断;(2)利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断。

二、利用非命题转化

原命题与其非命题的真假性相反,而“存在性命题”的非命题是“全称命题”。

若命题“∃x0∈R+(a-1)·x0+1＜0”是假命题,则实数a的取值范围是( )。

A.[-1,3]

B.(-1,3)

C.(-∞,-1]∪[3,+∞)

D.(-∞,-1)∪(3,+∞)

解析：因为命题“∃x0∈R+(a-1)·x0+1＜0”是假命题,等价于它的非命题“∀x0∈R+(a-1)x0+1≥0”是真命题,所以Δ=(a-1)2-4≤0,即a2-2a-3≤0,解得-1≤a≤3。故选A。

评注:不管是全称命题,还是特称命题,若其真假不容易正面判断时,可先判断其否定的真假。尤其是一类根据命题的真假求参数的取值范围问题,往往将“存在性命题问题”转化为“全称命题问题”来求解。

三、转化为函数问题

与全称命题和存在性命题有关的不等式恒成立问题,一般可转化为函数的最值问题。

∀x∈[-1,2],使4x-2x+1+2-a＜0恒成立,求实数a的取值范围。

解析：利用换元法,将原问题转化为二次函数的最值问题。

已知不等式化为:

22x-2·2x+2-a＜0。①

原命题等价于:∀t∈,a＞t2-2t+2恒成立。令y=t2-2t+2=(t-1)2+1,当t∈时,ymax=10,所以只需a＞10即可。

则不等式①化为:

t2-2t+2-a＜0,即a＞t2-2t+2。

所求实数a的取值范围是(10,+∞)。

评注:从命题角度看,不等式中的“能成立”问题,就是一个存在性命题,而“恒成立”问题,则是一个全称命题,解答这类含参数的不等式问题,一般可将参变量分离,进而转化为求函数的最值问题。

四、转化为不等式问题

由复合命题的真假求参数的取值范围,是一类比较常见的问题。一般可先确定构成复合命题的简单命题的真假,求出此时简单命题成立的参数的取值范围,再由复合命题的构成形式,确定其成立条件,求出参数的取值范围,而最终问题的解决离不开解不等式。

已知命题p:关于x的不等式x2+2ax+4＞0对∀x∈R恒成立;命题q:函数y=-(4-2a)x是R上的减函数。若“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,则实数a的取值范围是____。

解析：先简化命题p、q,构建关于a的关系式,再转化为关于a的不等式组问题。

由x2+2ax+4＞0对∀x∈R恒成立,得Δ=(2a)2-4×4＜0,解得-2＜a＜2。所以p⇔-2＜a＜2。

由y=-(4-2a)x是R上的减函数,得4-2a＞1,解得

所以q⇔

由“p∨q”为真,“p∧q”为假可知p与q中必有一真一假,即p真q假或p假q真。

评注:先简化两个命题,并求出两个命题为真时a的取值范围,最后根据题中命题的关系列出不等式,从而确定出a的取值范围,这是求解这类问题的通法。

五、转化为集合间的关系问题

判断p是q的什么条件,需要从两方面分析:一是由p能否推得q;二是由q能否推得p。对于带有否定性的命题或比较难判断的命题,可借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化,要注意集合间的关系。

已知集合M={x|x＜-3或x＞5},P={x|(x-a)·(x-8)≤0}。

(1)求实数a的取值范围,使它成为M∩P={x|5＜x≤8}的充要条件;

(2)求实数a的一个值,使它成为M∩P={x|5＜x≤8}的一个充分但不必要条件。

解析：(1)由M∩P={x|5＜x≤8},得-3≤a≤5。

因此M∩P={x|5＜x≤8}的充要条件是{a|-3≤a≤5}。

(2)求实数a的一个值,使它成为M∩P={x|5＜x≤8}的一个充分但不必要条件,就是在集合{a|-3≤a≤5}中取一个值,如取a=0,此时必有M∩P={x|5＜x≤8}。反之,M∩P={x|5＜x≤8}未必有a=0,故a=0是M∩P={x|5＜x≤8}的一个充分不必要条件。

评注:本例涉及参数问题,直接解决较为困难,先用等价转化思想,将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决。一般地,在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题时,常常要利用集合的包含、相等关系来考虑,这是破解此类问题的关键。