“二次函数”复习课教学设计及评析

左鑫　宋成德

（此课荣获哈爾滨市南岗区第32届教学百花奖一等奖.）

【教学设计】

教学目标：

知识与技能：1.理解二次函数概念、性质，会画二次函数的图像.2.理解二次函数一般式与顶点式之间的联系.3.能应用二次函数的图像和性质解决综合问题.

过程与方法：1.通过图像了解二次函数的性质，体会数形结合的思想.2.通过理解一般式与顶点式之间的联系体会转化思想.

情感态度与价值观：感受数学与现实生活的密切联系，增强学生的数学应用意识，养成分析问题、解决问题的良好习惯.

教学重点：二次函数的概念、图像和性质.

教学难点：应用二次函数的图像和性质解决综合问题.

教学方法：启发探究、发现式教学、合作交流.

学情分析：学生已经学习过二次函数一章，通过复习这些基础知识，对本章知识进行整合，进而深入理解.

教学流程：

一、知识点回顾

（一）定义

同学们，今天我们来上一节二次函数复习课.

首先，我们来回顾一下二次函数的定义.我们把定义中给出的表达式叫二次函数的一般式.接下来我们来复习二次函数的图像和性质.

（二）图像和性质

活动二：在图2中将y=x2的图像向下平移2个单位长度，画出图像的草图并思考图像的性质有什么变化.

小结：由特殊到一般，可以将y=ax2图像通过上下平移转化为y=ax2+k的图像.

习题训练（二）：（请学生快速口答）

（1）抛物线y=-3x2向 平移 个单位，得到的抛物线解析式为y=-3x2+7；

（2）抛物线y=-x2-4的开口方向和顶点坐标分别是（ ）.

A.向下，（0，4） B.向下，（0，-4）

C.向上，（0，4） D.向上，（0，-4）

活动三：在图3中将y=x2的图像向左平移3个单位长度，画出图像的草图并思考图像的性质有什么变化.

小结：同样，可以将y=ax2的图像通过左右平移转化为y=a（x-h）2的图像.

习题训练（三）：（请学生快速口答）

（1）抛物线y=3x2向右平移6个单位后，得到抛物线解析式为 .

（2）抛物线y=2（x+3）2的开口向 ，顶点坐标为 ，对称轴是 ，当x>-3时，y随x 的增大而 ；当x=-3时，有最 值，是 .

活动四：在图4中将y=x2的图像向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，画出图像的草图并思考图像的性质有什么变化.

小结：现在，我们将y=ax2图像先上下平移一次，再左右平移一次，转化为y=a（x-h）2+k的图像.我们看一下这几个解析式之间的关系. （引导学生发现并回答问题.）

习题训练（四）：（请学生快速口答）

（1）将抛物线y=3x2向左平移2个单位，向下平移1个单位，得抛物线解析式为_______；

（2）由二次函数y=2（x-3）2+1可知（ ）.

A.图像开口向下 B.图像对称轴为直线x=-3

C.其最大值为1 D.x<3时，y随x增大而减小

下面，我们再来复习一下一般式与顶点式之间的关系.

活动五：1.将y=x2-4x+5配方成顶点式，在图5中画出图像的草图，并说出图像的性质.

2.将y=x2-4x+5的图像沿直线y=1向下翻折，图像的性质有什么变化？

3.一般地，可将y=ax2+bx+c配方成什么形式？总结图像的性质.

小结：总结一般式与顶点式的关系.

教师提问：h，k分别表示什么？（引导学生发现并回答.）

习题训练（五）：（请学生快速口答）

（1）将y=-2x2+1向右平移1个单位，向上平移2个单位后得抛物线解析式为_______.

（2）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）过A（-1，0）和B（3，0）两点，图像的对称轴是直线x=______.

（3）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=4，其图像上有一点A（-3，5），则点A关于对称轴对称的点B的坐标为______ .

二、能力提升

如图6，二次函数y=ax2-2ax+c图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为P.（1）若A（-1，0），求B点坐标.（2）连接AC，BC，若∠ACB=90？紫， OB=3OA，求抛物线的解析式. （3）过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，若△CPD为以CD为斜边的等腰直角三角形，且PD∥CB时，求抛物线的解析式.（4）在（3）的条件下，作射线BP，并将其绕点B逆时针旋转45？紫，与抛物线交于点Q，求点Q的坐标.（5）如图7，二次函数y=-x2+x+的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为P.连接AC，BC，∠ACB=90？紫，OB=3OA，平移该抛物线的对称轴所在直线l，当直线l移动到何位置时，恰好使△ABC的面积分为1∶11两部分？

三、课堂小结

通过本节课的学习，你有哪些收获？

一般式： y=ax2+bx+c 顶点式：y=a（x-h）2+k

板书、作业（略）.

【评析】

复习课的核心是知识体系的重组和知识的选择性应用，左鑫老师的这节课牢牢抓住了复习课的这一特征，结合学情，科学制订了三维教学目标及教学重点、难点，教学中利用图形描述、分析数学问题，有效建立数与形的联系，提升了学生“直观想象”的数学素养.

本节課有以下特点：

一、教学目标设计合理

1.教师依据复习课中“学生的学习活动以内化学习为主要特征”的特点设计教学环节，引导学生对已经学过的二次函数知识重新回顾，梳理综合，结构重组，构建知识框架，使二次函数知识系统、清晰，形成知识体系.

2.教学设计有针对性：

（1）针对所要复习的二次函数的特点，设计了画草图的复习方式，符合学生的认知规律，很好地解决了抽象与直观的关系，有效突破了学生的认知难点，教学效果好.

（2）针对学生对知识、技能的掌握状况及遗忘缺漏情况确定了复习的重点和难点，根据学生的数学能力差异，精心选择富有启发性、典型性的分层训练题目，很好地处理了面向全体学生与关注学生个体差异的关系，促进了每个学生在原有基础上的发展.

二、数学习题使用合理

左老师在习题讲解时注重将习题与知识之间进行有机联系，沟通知识与方法间的联系，在提高知识运用能力的同时，进一步丰富了学生对知识的理解，充分体现了习题的作用，避免把复习课上成习题课.

三、重视数学思想方法的渗透

数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括.授课教师在对知识点的复习中注重了数学方法的培养与数学思想的渗透，学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，体会了从特殊到一般的研究方法，逐步感悟了数形结合思想.

四、注重现代信息技术的使用

利用几何画板软件将信息技术与课程内容整合，重视直观，使学生明确了“数缺形时少直观，形少数时难入微”的道理.重视过程，使学生明确了“过程与结果同样重要”的道理，有效地改进了教与学的方式.

授课教师根据学生的认知发展水平和已有的经验精心设计了5个有针对性的教学活动，通过学生独立思考、小组合作探究等学习方式，激发了学生兴趣，调动了学生的积极性，引发学生的思考，启发学生的创造性思维，在问题解决过程中使学生不仅掌握了知识，还培养了良好的数学学习习惯，掌握了恰当的数学学习方法，积累了数学活动经验，体现了“学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者”的教学理念.

授课教师数学底蕴深厚，教态自然，板书工整，教学语言简洁，善于鼓励、启发学生，给学生充足的思考时间与空间，处理课堂生成机智，有较强的驾驭课堂的能力.

五、建议

九年级学生在数学方面易呈现分化严重的现象，建议进一步加强教学设计分层意识，做到对学习有困难的学生给予及时的关注与帮助，鼓励学生主动参与数学学习活动、勇于发表看法，并尝试用自己的方式解决问题.及时肯定学生的点滴进步，耐心引导学生分析产生困难或错误的原因并改正，从而增强学生学习数学的兴趣和信心.对于学有余力并对数学有兴趣的学生，教师要提供足够的材料并留出足够的思维空间，指导他们发展数学才能，力争使不同的学生得到不同的发展.

编辑/王一鸣 E-mail：51213148@qq.com