启发诱导 自主建构

蔡国君

摘 要：简单平面几何是小学数学课程内容中的有机组成部分。本文以新教材中新改版的“多边形的内角和”一课的教学实践铺展说明，深入浅出，由表及里，开端有经验预设梳理认知规律，中间有进行难点突破的探究活动，后有发展渗透数学思想。

关键词：启发；诱导；探究；自学；辅导

简单平面几何是小学数学课程内容中的重要组成部分。针对这一部分内容的研究，如何让教学实施更加有效，使新课标的要求全部达标。紧紧围绕几何图形这一主题，笔者进行了深入的研习和摸索，收获一些经验和心得，本文选取了苏教版小学数学四年级下册第96 页“多边形的内角和”这一教学内容分享相关成果。

一、学情前测，宏观导引

在此之前，学生已经了解了多边形的一些特征，知道三角形内角和定理，三角形两边之和大于第三边，三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半，对梯形的定义、性质也有了初步的了解。

二、以旧促新，激发潜力

1. 丰富的教具，增强学生空间想象能力

为学生提供各种形状的多边形学具：比如普米软件特有的生成式的动态演示，能够让理性思维与感官认知交互沟通的swf软件，任意划分多边形使其成为其他多边形的习题设计。这是教师对教材从内容、结构、呈现方式等多个角度做出的科学重建。

2. 层次的反馈，让学生实现意义的建构

【片段一】回顾旧知。

师：还记得三角形的内角和定理吗？知道的请举手。

生：三角形内角和为180°。

师：这个结论是怎么推导出来的，记得吗？

生：通过大量裁剪拼摆的实验得出的。

师：那么，以后遇到一个三角形，如果只知道其中两个角的度数，能否求出第三个角的大小？

生：可以。

师：怎么求？

生：用180°减去这两个角就可以。

良好的开端是成功的一半。巧妙的开端不但能激起学生的好奇心，而且利用悬念迭起的设问，还能一步步吸引学生产生探秘的兴趣和动力。尤其是这种以旧带新法，在正式进入多边形内角和求法讲解前先“故弄玄虚”，让学生回顾三角形的内角和定理。从学生已经熟练掌握的旧知识入手，不仅巩固了原有知识，为新知学习打下心理基础，而且给学生带来亲切感和愉悦感，学生在愉悦的心态下接触陌生的新知效率更高。

【片段二】抛出疑问，激发兴趣。

师：同学们知道三角形的面积怎么求吗？

生：用底乘以高除以二。

师：那你们知道，这个面积公式中“除以二”的由来吗？

生1：是因为三角形面积是靠平均切分一个平行四边形得到的。

生2：根据平行四边形面积可以推算出三角形的面积。

生3：平行四边形面积又是根据长方形面积推演出来的。

师小结：很好，这就不难解释，课本里为什么先讲到平行四边形面积，再讲到三角形面积，最后讲到梯形面积。

以回顾三角形的内角和定理為“楔子”引入正题后，不能急于拿出多边形的内角和问题。从三角形内角和到多边形内角和的思维跨度较大，学生一时间难以接受和适应。搞不好会弄巧成拙，让前面精心的铺垫前功尽弃。按循序渐进的教学原则，要找到三角形内角和与多边形内角和之间的理论支柱，即建立理性上的数量关系桥梁——平行四边形的面积。从问题本源出发，由三角形面积计算公式中“除以二”的由来，来强调平行四边形面积可以折算成两个三角形面积的合理性。用类推法来提出假设：任意多边形的内角和同样可以换算成若干个三角形的内角和。对三角形面积公式的来源考究为这种假设提供强有力的逻辑性和可能性。

【片段三】同理类推，知识迁移。

师：既然平行四边形与三角形的面积之间有着千丝万缕的联系，那么它们之间的内角和有没有某种关联？

师：请你们大胆猜测一下平行四边形的内角和是不是和三角形的内角和一样是一个定值？

师：如果是，你有办法求出这个值是多少吗？如果不是，又有什么理由？

充分发挥教学中提问的艺术，先发出疑问“有没有某种关联？”然后再紧扣上一个问题进行追问“平行四边形内角和是不是定值？”最后根据学生的不同回答再来一句反问。通过层层诱导式提问，学生注意到了三角形与四边形的内在联系，辩证地找到了不同的多边形的基本属性，趁热打铁地推出多边形的内角和。整个教学程序有条不紊、环环相扣、逻辑紧密，而通过“温故”“对比”“学新”等规范、缜密的思维步骤，则可以让学生的思路在连续产生的疑虑中向前推进，从而有效地提高学生的想象力、分析力和思辨力。

三、纵深质疑，横向拓展

1. 明确研究任务：以四边形内角和的推算过程为窗口，你还想知道些什么？

生：平行四边形可以分成两个相同的三角形，一个三角形的内角和是180°，那么两个三角形的内角和就是360°。

生：其他任意四边形的内角和也符合这个结论吗？

在课堂上要关注学生问题意识的培养，倡导学生自己发问。学生在课堂预热阶段已经研究出平行四边形这类特殊四边形的内角和是360°，层层叩问下，必然会想到“任给一个四边形，内角和也满足 360°吗”“任意多边形是否也有自己特有的稳固的内角和值”“多边形的内角和数值大小与多边形的形状有关吗”……学生们的思路一旦打开，就像潘多拉的魔盒，会不由自主地冒出许多稀奇古怪的想法，这些想法都是独立思考能力和求知欲的体现。

2. 确定研究方向。

师：问题多，头绪杂，大家打算如何着手？

生：以四边形为切入点开始研究，因为四边形是除了三角形外边数最少的多边形。

生：三角形的内角和我们已经知道是固定值180°，接下来应该以四边形内角和为类推基准，再逐渐增加边数研究其他图形的内角和。

生：不是所有的图形都要一一研究，也不可能把所有多边形都涵盖进去，只要摸索到了本质规律，就可以如法炮制。

教学模式不是一成不变的，而是灵活多样，在这里，我们既要用到启发教育模式，启发学生思考存疑处，又要用到自学辅导模式，让学生对“研究什么”“怎样研究”产生自己的想法。

3. 探究任意四边形的内角和。

师：请大家猜测，随便一个四边形的内角和会是多少度呢？随手绘制一个四边形简图，用自己的方法算出它的内角和值。

通过亲自试验和数据研判，学生归纳总结了很多规律：边数越多，分成的三角形越多；每多加一条边，就能多切分一个三角形；能分成三角形的数量比边数少2；多边形的内角和就是分成的所有三角形的内角和；有多少个三角形，就有多少个180°……然后再继续深究：你明白为何三角形的数量会比边数少2吗？

“参与—活动”式教学模式的运用，可以通过组织引导学生自主探究，达到提高学生分析解决问题的能力，培养学生良好意志的目的，让学生从知识客体变为知识主体，通过自主建构获得认知的进步。这个活动过程中学生能清醒地认识到要求多边形的内角和，把多边形分成若干个三角形是必由之路。有两种切分方案，方案A：从多边形任意一个顶点出发向其他顶点连线；方案B：在多边形内部任选一点，分别向每個顶点连线。

4. 总结通用公式。

问题：你能用一个代数式表示多边形内角和的求法吗？

生：多边形的内角和=（边数-2）×180°。

师：上述方案A与方案B有何区别？最后得出的结论是一致的吗？

生：方案A由于被选顶点不能与自己的两条邻边构成三角形，所以n边形分成的三角形个数为n-2。但是切分后的每个三角形的每个内角都是多边形内角的一部分或某个内角的全部，所以得出多边形的内角和=（n-2）×180°；方案B则不同，是在多边形内部随意选取原点，三角形的个数与n边形的边数相同，都为n。但是这些三角形共顶点（原点）的内角不是多边形的内角，要除去。但它们刚好拼合成一个周角360°，折合成2个180°，所以公式推导过程是：多边形内角和=180°×n-（180°×2）=（n-2）×180°。

理论联系实际是重要的教学原则，要求我们在进行理论知识教学的同时，还要能联系实际进行讲授。没有理论，发展学生的智力也就没有基础，更不可能培养学生运用知识于实践的能力。循序渐进地促使学生质疑和探究，最后，在启发式教育的模式下，学生的思路打开，成功完成自主建构。