概念图给力数学教材结构分析

林东梅　文永陈杰

【摘要】对数学教材章节结构清晰地认知是解决“教什么、怎么教，学什么、怎么学”的策略，而“构建概念图”是对数学教材章节清晰认知的有效途径。以集合与函数概念章节为例，探寻概念图给力数学教材章节结构分析，表明整体把握单元小节，制定单元宏观概念图；详列小节主要概念，制定单元中观概念图；细化小节主要概念，制定单元微观概念图有助于数学教材结构分析，从而更好地解决“教什么、怎么教，学什么、怎么学”的问题。

【关键词】概念图；数学教材结构分析；函数

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）28-0126-02

一、概念图给力数学教材结构分析的必要性

数学教材是承载数学教学的主要载体，而数学教学既要解决“教什么、怎么教”，又要解决“学什么、怎么学”的问题，教材分析恰恰是解决这两大问题的策略。那该如何进行教材分析呢？除了了解教材编写意图、把握教材重难点、了解教学建议之外，对这一章节的知识结构有清晰的认知也是教材分析的重要内容之一，而这恰恰是某一章节认知结构的问题。皮亚杰使用临床访谈法分析儿童解释周围事件的认知过程，诺瓦克对此方法进行修改，最终得出用概念图表征学习者的认知结构。因此，教师在进行数学教材结构分析时，可以采用构建概念图的方式，达到对某一章节知识结构清晰认知的目标，从而解决“教什么、怎么教；学什么、怎么学”的问题。如下以《集合与函数概念》章节为例，探寻概念图如何给力数学教材结构分析。

二、概念图理论概述

1.为何提出概念图理论

20世纪60年代，在诺瓦克与高温等人对200名学生进行长达12年的纵向追踪研究中，对学生进行访谈，发现访谈结果的解释和转录在技术上存在很大问题，从访谈记录和转录中难以看出学生概念理解的具体变化，更难区别改变的类型。因此，还需更好的工具或方法表征学生知识结构和概念结构发生的变化。1978年，在罗维尔研究了一些磁带录音和研究性访谈记录后，决定设计一个“概念图模型”。最初的概念图模型联结上没有标注，容易导致评分者对同一个联结的理解产生差异，还很有可能不是绘图者的意思。因此，改进后的概念图要求绘图者在概念图的联线上做标注。

2.概念图理论是何

概念图是一种对知识的结构化进行形象表征的方法，有结点和连线两大特征，结点代表某领域或某主题的重要概念，联线指一对概念（结点）之间的关系，线上的标注解释了概念之间的关联，一对概念以及一个包含联线的标注构成一个命题。在概念图中，概念的排列是按照上、下位概念进行，概括性高、抽象度高的概念位于关键概念的节点，以下依次是下位概念，整个概念图中的概念排列具有一定层次结构，概念的例子位于图的底部。

三、概念图理论给力数学教材结构分析——以集合与函数概念章节为例

1.整体把握单元小节，制定单元宏观概念图

集合与函数概念是人教版高中数学必修1第一章内容，这一单元共分三个小节：其一为集合；其二为函数及其表示；其三为函数的基本性质。函数及其表示位于集合后，这是由函数概念用集合定义所决定，函数性质继函数概念之后。因此，每一小节是后一小节的基础，得到本章小节的宏观概念图。

2.详列小节主要概念，制定单元中观概念图

继本章内容整体了解后，把本章内容中每一小节的主要概念详细列出。集合小节有：元素、集合、子集、真子集、相等集合、空集、并集、交集、全集、补集，其中，元素构成集合，子集、真子集、相等集合、空集是集合间的关系，并集、交集、全集、补集是集合间的运算；函数及其表示小节：函数、区间、分段函数、映射，其中，区间与集合等价，分段函数是函数的特例，映射是函数的推广；函数的基本性质小节：增函数、减函数、最大值、最小值、奇函数、偶函数，其中，增函数与减函数是函数的单调性，最大值与最小值是函数的最值，奇函数与偶函数是函数的奇偶性。因此，得到本章小节的中观概念图。

3.细化小节主要概念，制定单元微观概念图

继本章内容中每一小节的主要概念详细列出后，进一步分析每个概念是什么，即弄清楚概念的内涵与外延。注意什么，如集合这节内容，需要注意如下问题：集合中元素的三性问题，元素与集合的关系问题，集合的表示方法问题，空集问题，集合的子集、真子集个数问题；函数及其表示这节内容，需要注意函数的三要素问题，函数的表示方法问题；函数的性质这节内容，需要注意单调性的三种语言问题，单调性的局部性问题，单调性的判断问题，奇偶性的判断问题等。

联系什么，如函数是描述变量间的依赖关系，初中已经学过传统定义，还学习了一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数等特殊函数，必修1学习集合后，进一步用集合的观点描述函数定义，学习函数性质。对主要概念进行“是什么、注意什么、联系什么等”问题细化后，得到本章内容的单元微观概念图。

借助微观概念图分析教材，“教什么、怎么教，学什么、怎么学”两大问题迎刃而解，与此同时，当新的概念与概念图产生联系时，概念图将不断地完善。如必修1第二章基本初等函数的指数函数、对数函数、幂函数都是函数的特例，是由函数概念经过强抽象得到的，因此，在学习这三类函数后，可以将这三类函数纳入到集合与函数概念微观概念图中，在教学时，可以类比函数概念进行教学。

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作者简介：

林东梅（1994-），女，广西北流人，广西师范大学数学与统计学院2015级硕士研究生，研究方向：数学课程与教学论。

文永陈杰（1992-），男，广西柳州人，广西柳州市景行小学柳东校区数学教师。