基于数学文化观的“数列的概念”教学实践与思考*

江苏省常熟市浒浦高级中学 (215512)

殷伟康

基于数学文化观的“数列的概念”教学实践与思考*

江苏省常熟市浒浦高级中学 (215512)

殷伟康

数学是一种文化，已逐步成为数学教育工作者的共识.美国著名数学家莫里斯·克莱因认为“数学文化应该包括两个方面：作为人类文化子系统的数学文化，它所涉及的是数学与其他文化、与整个文明的关系；另一方面就是数学本身作为一个文化系统，它的发生、发展及其结构.”笔者认为：数学文化作为一种基本的文化形态，是属于科学文化范畴的，从系统观点看，数学文化是一个以数学学科体系为核心，以数学思想、精神、知识、方法、技术、理论等所辐射的相关文化领域为有机部分的具有强大精神与物质功能的动态系统.从物质形态上看，“数学本身就是文化”，是以数学学科和数学发展为背景，以数学课程和数学教学为载体所展现的文化.从意识形态上看，“数学文化”是指蕴涵在数学知识形成过程中的观点、信念、态度和方法，是比数学成果更有价值的内容.着力构建数学文化的课堂，让学生通过经历、体验、感悟、欣赏与交流的数学活动，沐浴“数学文化”的阳光，潜移默化地接受数学文化的感染和熏陶，产生数学文化的共鸣，逐步提高学生的数学素养和数学文化修养，让数学课堂焕发出生命的活力.那么，如何使数学文化从理念走进课堂，真正融入到学生的数学学习之中？笔者以“数列的概念”为例，阐述数学文化观下的数学教学实践与思考.

一、以史引趣，激发探究

情境1 数列3，6，12，24，48，96，192，…，这是一个非常平常的一列数，普鲁士天文学家提丢斯运用它作一个运算：在这组数据前加上“0”得到“0，3，6，12，24，48，96，192，…”然后每个数加上4后，再将每个数除以10，得到一列数0.4，0.7，1.0，1.6，2.8，5.2，10.0，16.9，…(这一列数中的后一个数与前一个数之差组成新的一列数0.3，0.3，0.6，1.2，2.4，4.8，6.9，…)再把这一列数和太阳到各行星的距离作比较，得到了下面结论：(单位为天文单位)

行星距离类别水星金星地球火星?木星土星?……实际距离0.390.721.01.52?5.29.5?……计算距离0.40.71.01.62.85.210.019.6……

观察表格，发现第二组数与太阳距离六大行星的实际距离有密切联系，提丢斯就是利用这个表格预言了天王星的存在.1781年发现的天王星，证实了提丢斯的猜想，它到太阳的距离为19.2个天文单位(19.2接近于19.6),使人们对提丢斯定则更加确信无疑.观察上表，是否在距离太阳约为2.8个天文单位的区域内存在尚未被发现的行星？根据这一猜测，天文学家们开始在此区域内寻找.1801年意大利天文学家比亚兹，果然在这个距离发现了谷神星，它与太阳的近似距离为2.7个天文单位.天文学家利用行星与太阳之间的距离与这一数列的变化规律，运用数学的联想和合情推理而研究发现了谷神星.由此可见，通过对这一组神奇的一列数的研究揭开了宇宙运行的神秘面纱.

设计意图：教师注重开发数列概念教学中的文化资源，运用科学史上的真实故事，能极大激发学生学习数列的兴趣热情，从而为学好数列这一章奠定了情感基础，激发了探究的欲望.

二、以史为鉴，创设情境

情境2 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过三角形数(如图1)：1，3，6，10，15，…；类似地(如图2)：1，4，9，16，25，…被称为正方形数.

相继的三角形数之和为正方形数，类似地，相继的正方形数之和为金字塔数1，5，14，30，55，….(用PPT展示毕达哥拉斯学派的成果，其中三角形数和正方形数在数学史上称为“形数理论”，古代数学家用“形数理论”推导或证明了许多公式.)

图1 图2

情境4 某种细胞，如果每个细胞每小时分裂为2个，那么每过1小时，1个细胞分裂的个数依次为1，2，4，8，16，….

情境5 常熟市2015年2月16日至20日的全天最低气温(单位：摄氏度)依次是1.1，-1.2，2.3，-0.4，-0.8.

情境6 从1984年到2016年我国共参加了9次奥运会，各次参赛获得的金牌总数依次为15，5，16，16,28，32，51，38,26.

设计意图：古希腊毕达哥拉斯学派崇尚“万物皆数”，并将数与图形结合研究，通过介绍古希腊毕达哥拉斯学派的三角形数与正方形数，让学生了解数学的历史与切身体验数学家的思考过程，感受数学文化的熏陶.展现数学知识生成的文化背景，是数学教学过程的自然流露，使学生体会到其中的趣味性、文化性和思想性.

三、辨析探究，建构概念

问题1 请同学们观察上面的几组对象，这些对象有什么特点？

问题2 从数的角度分析这几组对象描述的语言中有何共同特点？如何表述？

设计意图：通过观察、讨论、质疑与交流，让学生归纳出数列概念——按照一定次序排列的一列数称为数列.在数列概念形成过程中，让学生感觉概念的生成自然而然，水到渠成.

问题3 1，2，4是数列吗？它与数列4，2，1是同一数列吗？

问题4 数列与我们学过的哪一个数学概念很像？它们一样吗？能总结出二者之间的区别吗？

设计意图：引导学生对集合与数列进行辨析，集合中的元素具有互异性，数列中的数可以重复，而集合中的元素不可以重复；数列中的项是数，而集合中的元素可以是数，也可以不是数；数列中的数是有次序的，而集合中的元素具有无序性.通过学生的判断、辨析，加深对数列概念的理解.

四、类比探究，深化概念

问题5 给定一个数列，应能够指明第一项是多少，第二项是多少，……，每一项都是确定的，即指明项数，对应的项就确定．所以数列中的每一项与其项数有着对应关系，这与我们学过的什么有密切关系？

问题6 你能用直观的方法表示情境3、4中的数列吗？它还有哪些表示方法？

问题7 分别利用列表、图像、公式表示同一个数列.这三种表示法的共同特征是什么？都涉及哪些量，它们之间有什么关系？

问题8 数列是函数吗？你能说出为什么吗？函数的要素是什么？类比函数可知，数列{an}中，什么相当于函数的自变量？什么相当于函数的因变量？

设计意图：三种表示方法都反映了项与序号的对应关系，即数列中项的序号n与an是逐一对应，符合函数的最显著的特征——单值对应，由此可猜想数列是函数，显得自然而然、水到渠成.引导学生类比映射和函数知识来研究数列.

设计意图：逐步揭示数列是函数的实质，数列通项公式可看作是相应函数的解析式，从而将数列概念成功纳入到函数的概念体系中去，深化对数列概念本质的理解.

问题10 如图3所示的三角形图案称为谢宾斯基三角形.在下面4个三角形图案中，白色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式.

图3

问题11 设初始等边三角形面积为1，白色三角形表示除去的面积，分别求出上述4个三角形图案中黑色三角形的面积和周长，若面积和周长分别构成数列{bn}、{cn}，请写出这二个数列的一个通项公式.

问题12 观察数列{bn}和{cn}的变化趋势，你能得出什么结论？

设计意图：1951年波兰数学家谢宾斯基创造了一个美妙的艺术品“谢宾斯基三角形”.取一个实心的正三角形，三边中点的连线将它分成四个小三角形，去掉中间的那个小三角形，对其余的小三角形重复以上步骤.以上步骤可以不断重复，无限进行下去，得到的图形的面积趋于零，而它的周长越趋近于无穷大(即小图形的数目趋于无穷，作为小图形的边的线段数目趋于无穷).

五、教学反思，感悟提升

数学文化具有极强的内在逻辑性、历史发展的延续性和广泛的外部联系，教师要善于挖掘数学史料中有关数学概念的独特文化背景，利用数学概念的背景或者产生的曲折历程，对数学史料进行再加工，将其融入数学概念教学之中，使数学课堂教学更具数学魅力.

1.融入数学文化，激发探究欲望

“数列的概念”作为章节的第一课，更多地承载着传递数学文化的重任，有效地融入数学史料，营造浓郁的数学文化气息的课堂氛围，能以丰富的数学文化给学生以美的享受和启迪.因此，笔者以提丢斯数列引入课题，让学生感觉数学的神奇，原来浩瀚的宇宙处处存在着数学规律，有利于激发学生探究欲望.这样的课堂引入不仅直接引入课题，而且蕴涵丰富的数学文化元素，使数学课堂更具有浓厚的数学味道.问题情境设计要关注数学文化背景，挖掘文化资源，如情境2介绍了古希腊毕达哥拉斯学派研究成果：三角形数与正方形数(平方数)，并适当进行拓展，相似地，将平方数列相继求和，则可得到金字塔数，使学生了解这些数列背后更深刻的文化意义，并从数学家身上看到富有启发的数学思想、创新意识和理性精神.从而进一步激发学生探究的兴趣，提高数学思维的能力.

2.凸显数学文化，彰显数学本质

特级教师俞昕认为：在一定意义上，个体数学认识过程具有与数学文化发展的相似性．因此，可以从数学文化曲折的发展路径去洞察数学学习的本质，为此课堂教学要凸显数学文化，挖掘数学知识中蕴含的数学文化和探究知识过程中蕴含的数学文化现象.在探究数学概念形成与发展过程中，要揭示数学概念中蕴含的数学思想、方法和观点，展示数学概念中数学文化背景，才能更好地促进学生对数学概念本质的理解和领悟.如通过对问题6-8的探究，引导学生类比研究函数的方法来研究数列，有利于学生辨清数列与函数的关系，领悟数列概念的本质，并掌握运用类比思想研究问题的方法.

3.渗透数学文化，提升数学素养

数学史是从一个侧面反映了人类文化史，又是人类文明史的重要组成部分.对数学史料中的有关数列问题进行有效地选择、重组、加工，结合知识的逻辑顺序和学生的心理发生顺序，设计成符合学生认知水平和可探究的问题情境.如对情境2和问题10-12的探究，引导学生对毕达哥拉斯学派研究的各种多边形数以及经典的谢宾斯基三角形进行探究，引领学生接受数学文化的洗礼与熏陶，感受数学的文化价值．引导学生对数学史中的数列问题进行探究，这不仅是一种教材的“二次开发”，更是一种数学文化的有效渗透，有利于提升学生的数学素养．

基于数学文化观的课堂教学理念是：从“传授数学知识”走向“传播数学文化”，从数学文化的视角出发，结合学情，运用数学史的有效融入方式，对教材进行“二次开发”，尝试“重构式”教学方法，将数学文化的精髓依附在数学知识发生、发展的过程之中.因此，在教学中，要注重创设以数学史料为背景的问题链，引导学生进行探究，再现数学历史原貌，展示数学概念的发生、发展过程，让学生在获得知识的过程中，体验其中蕴含的思想方法，促进学生去感悟和建构数学新概念，同时让学生经历数学文化的熏陶，提升学生数学文化修养和数学素养.

[1]俞昕.平凡中闪耀出数学的本质——赏析一堂常态课“数列的概念与简单表示法”[J]．中学数学教学参考,2015(3)：12-13．

[2]殷伟康.构建数学文化课堂的思考与实践[J]．数学教学研究,2012(1)：2-5．

[3]吴进，殷伟康.问题引领 诱发探究 促进建构——数列的概念教学实录与反思[J]．中学数学月刊,2015(9)：34-37．

[4]袁芹芹.从“数列的概念”教学谈数学课堂中的德育教育[J]．中学数学月刊,2014(6)：13-14．

本文系江苏省教育科学“十二五”重点资助课题：构建数学文化课堂的教学实践研究(课题批准号B-a/2013/02/069)研究成果之一.