例析柯西不等式在高中数学中的应用

刘友军

【摘要】作为高中数学教学任务之中的一个新增课程内容，柯西不等式具有自身的特点，它是数学解题中十分重要的一个工具.在高考中，常利用柯西不等式考查学生能力，因此，应当针对其进行充分研究.

【关键词】柯西不等式；高中；数学

柯西不等式属于高中阶段进行数学教学不可忽略的内容.柯西不等式具有形式便捷、应用性强等几个方面的特点.近些年以来，我国在高考以及数学竞赛方面均开始注意并应用了越来越多的关于柯西不等式方面的知识点.解答此类问题过程中，常会应用到柯西不等式，形成假设条件，建立与结论之间的有效沟通.为此，采取何种方式或者手段利用柯西不等式，是我们需要探究的问题关键.

柯西不等式为著名数学家柯西在进行数学分析过程中获得的.基于历史角度分析，这个不等式也可以被称作是Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式.这是因为后两位数学家均已经在积分学领域之中发挥出其作用和价值.柯西不等式属于高中教学中的重要内容，也是现代高中数学研究内容之中的关键部分.柯西不等式作为一个至关重要的不等式，本研究中采用了三种方式解析与说明柯西不等式，同时，形成了部分柯西不等式在证明几何、函数等方面的应用.

下面列举数例，分析柯西不等式在高中数学中的应用.

案例1几何题型中的应用

例1（2008年高考试题）直线xa+yb=1通过点M（cosα，sinα），因此（）.

A.ax+bx≤1

B.ax+bx≥1

C.1a2+1b2≤1

D.1a2+1b2≥1

分析结合題意确定柯西不等式为

1=cosαa+sinαb2=cosα·1a+sinα·1b2

≤（cos2α+sin2α）1a2+1b2，

因此，可以知道1a2+1b2≥1，所以，正确答案为D.

本题在解题方法上可以选择较多形式，但是通过柯西不等式进行解答则效果最佳，读者或可以尝试其他方法进行解答.

案例2柯西不等式应用在数列与不等式中的应用

在高考试题中柯西不等式通常应用于数列与不等式证明中，如下例题所示.

例2已知数列{an}首项a1=35，an+1=3an2an+1，n=1，2，3，….

（1）求{an}通项公式；

（2）证明：x>0，an≥11+x-1（1+x）223n-x，n=1，2，3…；

（3）证明：a1+a2+a3+…+an>n2n+1.

该例题是高考中较常见的题型之一，也是压轴问题.上述例题中（1）（2）较为简单，针对（3）的解题方法分析如下：

由已知任意的x>0，则

a1+a2+…+an≥11+xk-1（1+x）223-x+11+x-1（1+x）2232-x+…+11+x-1（1+x）2·23n-x=n1+x-1（1+x）223+232+…+23n-nx，

所以，取x=1n232+…+232=231-13nn1-13，

则得出

a1+a2+…+an≥n1+1n1-13n=n2n+1-13n>n2n+1.

所以，原不等式成立.

柯西不等式在教材中的应用与实践检验时间不长，但其已经逐渐成为高考中的重点题型.通过灵活把握柯西不等式解题方法，能够提高解题效率，对培养学生数学素养有着重要作用.

结束语

综上所述，借助柯西不等式解答试题的核心就是依据题目特征，构造符合题意的项，进一步获取关于柯西不等式方面的结构.针对相应项目进行构建的过程中也应当结合实际情况，确保合理性.例如，分母应当为0，平方根非负等是基本条件.结合全文可知道，准确运用柯西不等式，以此，可以更好地证明数据各类问题.并将复杂数学问题进行简化处理.

【参考文献】

[1]陈琼.小议阅读教学在高中数学中的应用[A].2016年4月全国教育科学学术交流会论文集[C].《教育科学》组委会.2016：1.

[2]刘凯，程建辉，丁海丽，卫江燕.翻转课堂在高中数学变式教学中的应用[A].2016年4月现代教育教学探索学术交流会论文集[C].《现代教育教学探索》组委会.2016：3.