“平面与平面垂直”教学设计

蒋颉

一、课程分析

平面与平面垂直关系是线线垂直、线面垂直、面面垂直关系中的最高层次.通过线面垂直转化为面面垂直，是一种判定两平面垂直的重要方法；利用平面与平面垂直的性质可以证明线面垂直，也是做平面垂线的重要方法，因此，线线垂直、线面垂直、面面垂直这三者之间的关系非常密切，可以相互转化，本节的学习在高中数学学习中有着极其重要的地位.

二、设计思路

本课为新授课，积极践行新课程理念，学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程应倡导自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式.学生的学习过程要成为在教师引导下的“再创造”过程，教师应充当指导者、合作者、组织者、促进者和助手的角色，与学生共同经历知识探究的过程，使学生以探索者、研究者的身份，动脑思、动手做、动眼看、动口议、动笔写、动耳听、动情读，全身心地参与学习活动.

根据本节课的特点，教师挖掘教材中的探究点，创设恰当的问题情境，形成师生、生生之间多向的讨论、交流与合作，以设疑、激疑、导疑、释疑来激发学生学习的情意.

遵循“探索—研究—运用”即“观察—思维—迁移”的三个层次要素，教师“诱”在点上，学生动脑思，动手做.由文字语言到图形语言再到符号语言，使学生由感性认识上升到理性认识，整个教学过程遵循“直观感知—操作确认—归纳总结”的认知规律，注重发展学生的合情推理能力，降低几何证明的难度.

三、教学目标

（一）知识技能

1.能归纳出平面与平面垂直的判定定理及性质定理，并证明定理；

2.通过对两个平面垂直的判定定理和性质定理的作用的挖掘，进一步体会线线垂直与线面垂直的密切关系，从而从更高的角度把握空间直线与平面的位置关系.

（二）情感、态度与价值观

通过本节学习，培养学生观察、归纳、猜想、证明的科学思维方式及辩证思维能力，体验成功的愉悦感受，增强数学应用意识，增强积极主动的探究意识，培养创新精神.

四、重点、难点

教学重点：平面與平面垂直判定定理及性质定理的理解及推导.

教学难点：平面与平面垂直的判定定理及性质定理的掌握及应用.

五、教学流程

（一）情境导入，直观感知

1.创设情境，温故求新.

【课件投影】

请回忆平面与平面垂直的定义.

如果两个平面所成的二面角是直角，就说这两个平面互相垂直.

2.实践经验，直观感知

通过教师引导学生观察门总是与地面垂直的事实，学生能发现面面垂直的判定定理，能用文字语言叙述判定定理，但不够严谨，默读面面垂直的判定定理.

（二）归纳研究，深化定理

1.实践确认面面垂直的判定定理.

（1）形成定理.

两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.

（2）定理证明.

已知：AB⊥β，ABα（图1）.求证：α⊥β.

证明：设α∩β=CD，则由ABα知，AB、CD共面.

∵AB⊥β，CDβ，∴AB⊥CD，垂足为点B.

在平面β内过点B作直线BE⊥CD，则∠ABE是二面角α-CD-β是直二面角.

∴α⊥β.

（3）应用举例.

例1如图2，已知AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.

证明∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，

又∵PA垂直于⊙O所在的平面，∴PA⊥BC，

∴BC⊥平面PAC，又BC在平面PBC内，

所以，平面PAC⊥平面PBC.

说明：由于平面PAC与平面PBC相交于PC，所以如果平面PAC⊥平面PBC，则在平面PBC中，垂直于PC的直线一定垂直于平面PAC，这是寻找两个平面的垂线的常用方法.

2.实践确认两个平面垂直的性质.

（1）形成定理.

由线面垂直可以得到面面垂直，那反之由面面垂直可否得到线面垂直，通过引导学生动手操作，学生能发现面面垂直的性质定理，能用文字语言叙述性质定理.

（2）定理证明.

如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.

已知：如图3，α⊥β，ABα，AB⊥CD，α∩β=CD，求证：AB⊥β.

分析：在β内作BE⊥CD.

要证AB⊥β，只需证AB垂直于β内的两条相交直线就行，而我们已经有AB⊥CD，只需寻求另一条就够了，而我们还有α⊥β这个条件没使用，由α⊥β定义，则∠ABE为直角，即有AB⊥BE，也就有AB⊥β，问题也就得到解决.可由学生写出证明过程.

图3

图4

（3）应用举例.

例2如图4，已知AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任一点，求证：

（1）平面PAC⊥平面PBC.

（2）若PA=AC=BC，求AB和平面PBC所成的角.

解过A作AD⊥PC于D，连接BD.

由（1）平面PAC⊥平面PBC，∴AD⊥平面PBC，

∴∠ABC即为线AB与平面PBC所成线面角.

设PA=AC=BC=a.

在Rt△PAC中，AD=22a，

在Rt△ABC中，AB=2a，

∴∠ABC=30°.

（三）学以致用，应用定理

练习已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足.求证：平面PAC

Symbol^A@ 平面PBD.

（证明过程略）

（四）总结反思，升华提高

1.面面垂直的判定和性质.

2.证明面面垂直的方法.

（1）证明二面角为直角；

（2）用面面垂直的判定定理.

3.面面垂直线面垂直.

（五）布置作业

P52页6、7、8.

（六）课后反思