依托画板的软平台，实现教学的再创造

卢嘉坤+林文柱

著名的数学教育权威弗赖登塔尔认为，数学教学方法的核心是学生的“再创造”.在具体实施过程中必须努力激发学生“再创造”的动机，必须以学生的“数学现实”为基础，必须重视合情推理的作用.

基于这一教学理念，例如，设OA，OB是抛物线y2=2px（p>0）的弦，O为坐标原点.若OA⊥OB，即kOA×kOB=-1，则弦AB必恒过定点（2p，0）.通过师生互动和合情合理的探索，利用几何画板软件，发现了一些新结论.

探索1设直线l与抛物线y2=2px（p>0）相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若直线l恒经过定点（2p，0），则OA⊥OB吗？引入几何画板辅助教学，过定点（2p，0）作一动直线l交抛物线于A，B两点，构造动画使点A，B沿抛物线运动，“度量”直线OA，OB的斜率和计算kOA×kOB的值，学生清晰观察到点A，B运动时，kOA，kOB的值被不断刷新，然而，kOA×kOB恒为定值-1（如图1）.从而验证上述命题是真命题.

实测：直线y=x-a与抛物线y2=ax交于A，B两点，O为原点，则△AOB是（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.其形状不能确定

探索2设OA，OB是抛物线y2=2px（p>0）的弦，O为坐标原点.若kOA×kOB=R（R≠-1且为定值）.弦AB必恒过定点？利用几何画板进行探求：设置一个可以改变R值的按钮，当R值一旦确定，构造动画使点A，B沿抛物线运动，此时观察到kOA，kOB的值被不断刷新，但kOA×kOB=定值R且弦AB与x轴的交点的坐标保持不变.当R值一旦改变，弦AB与x轴的交点的坐标也改变（如图2）.从而得出弦AB必恒过定点.

探索3设MA，MB是抛物线y2=2px（p>0）的弦，M为非顶点的一个定点，若MA⊥MB即kMA×kMB=-1.弦AB必恒过定点？利用几何画板进行实验，设置一个可以改变p值的按钮，当p值一旦确定，构造动画使点A，B沿抛物线运动，此时观察到kMA，kMB的值被不断刷新，但kMA×kMB=-1且弦AB与直线y=-yM的交点的坐标保持不变.当p值一旦改变，弦AB与直线y=-yM的交点的坐标也改变（如图3）.从而得出弦AB还是恒过定点.一边改变R值，一边演示.

教师保持沉默，意在启发.然后，直接进入课件演示：MA，MB是抛物线y2=2px（p>0）的弦，M为非顶点的一个定点且kMA×kMB=R（定值），动画演示A，B沿抛物线运动，同时，一边改变R值，一边演示.再一边改变p值，一边演示.观察动直线l的运动轨迹（如图4）.引出推广，并探求定点之间的坐标关系.其结论是：弦AB始终恒过定点.此定点与点M的坐标关系是xM-2pR，-yM.

最后，让学生课后自主学习和类比探究：以上问题中的抛物线改为椭圆或双曲线，结论还会成立吗？

类比结论：弦AB依然恒过定点.

通过这节课教学的“再创造”，教师必须在教学中抓住学生的合情推理和探索，打开思维的大门，让学生的思想在数学的天空中翱翔，从而培养学生的创新能力.另一方面，教师的任务就是为学生提供广阔的天地，听任各种不同思维、不同方法自由发展，决不可对内容作任何限制，更不应对学生的发现设置任何人为的障碍.做一个研究型的教師，做一个“与时俱进”的教育教学专家.