浅析高考数学中“最值问题”的思考方向与求解策略

江苏省如皋第一中等专业学校(226500) 卢坤宏 ●

浅析高考数学中“最值问题”的思考方向与求解策略

江苏省如皋第一中等专业学校(226500) 卢坤宏 ●

数学最值问题的求解已成为新课改形势下高考数学中的必考点与高中数学课堂重点研究对象．本文借助于两道最值例题，从高中数学中最常见的最值问题的四个思考方向(函数、三角函数、均值定理、线性规划)着手分析出各个方向所必备的条件与解决问题的策略．

最值问题;思考方向;解决策略;函数;三角函数;均值定理;线性规划

例题1 已知正数x，y满足x+y=4，求xy的最大值．

一、利用函数的单调性求最值

函数是数学研究的重要对象，函数思想一直贯穿高中的数学教学中，因此函数也就必然成为高考的重要内容．函数随着单调性的改变，图象此起彼伏，图象上就出现了高点与低点，对应的函数值出就出现了大值与小值．因此函数的单调性必然成为求解最值问题的重要工具．

1．利用二次函数的性质求最值

二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是学生在高中阶段学习的一个重要函数．根据二次函数的单调性和它的图象特点不难知道它有最大值(最高点)或最小值(最低点)，因此二次函数在求解最值中必然会有重要作用．

我们通过例题1来品味二次函数在求解最值中的作用．

分析 若我们运用函数的性质求解本题，首先我们应该看到例题1中含有两个变量x，y，而我们高中阶段所学习的函数均为一个自变量，所以我们应首先选择消去一个变量，降二元为一元．但在消元过程中学生容易顾此失彼，忽视变量的取值范围．通过分析我们不难得到如下解题过程:

因为正数x，y满足x+y=4，所以y=4－x(x∈(0，4))，因此xy可化为xy=x(4－x)=－x2+4x x∈(0，4)．根据二次函数的性质不难得出当x=2时，xy有最大值为4．

通过分析求解我们可以总结出运用二次函数性质求解问题的策略:(1)消元(化多元为一元，转化为二次函数形式);(2)定范围(确定函数定义域);(3)求最值(根据二次函数性质确定最值)

2．高次多项式函数及超越函数运用导数求解

导数作为研究函数的一个重要工具，它以独特的方式来阐述了函数单调性的变化规律，从而确立了它在研究函数(尤其是高次多项式函数及超越函数)中的重要地位．

我们通过例题2来体会导数在最值求解中的作用．

通过分析求解我们可以总结出运用导数求解问题的策略:(1)求导(确定函数的单调性);(2)判断最值点．

二、利用三角函数的性质求最值

正弦函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A＞0，ω＞0)是学生高中阶段学习的另一个重要函数，它在自然科学中有着重要的作用．正弦函数具有独特的单调性与有界性，确立了它在最值求解中的重要地位．

我们分别通过例题1、例题2来体会正弦函数的作用．

分析 若我们运用正弦函数的性质求解，首先我们应该考虑到正弦函数的有界性，变量必须限制在特定的范围内，而且必须能构造出sin2α+cos2α=1的形式．

对于例题1有正数x，y满足x+y=4，满足了变量有界的特征．我们可以作如下考虑:设 x=4 cos2α，y=4 sin2α，则xy=4 cos2α×4 sin2α=4(sin2α)2，根据正弦函数的有界性可以得到 －1≤sin2α≤1，从而有0≤4 (sin2α)2≤4，故0≤xy≤4，因此xy的最大值为4．

通过分析求解我们可以总结出能运用正弦函数性质求解问题必须具备这样的条件:变量有界，可构造出sin2α +cos2α=1，从而实现向三角函数的转化．具备这一条件的问题，我们的求解策略如下:(1)

换元转化(将原变量分别用sinα，cosα替换，转化为三角函数的形式);(2)整理变形(化归为f(x)=Asin(ωx +φ)+B);(3)运用正弦函数的性质求解．在求过程中要注意新元的范围．

三、利用均值定理求最值

均值定理建立了和与积之间的不等关系，它独特的表述形式决定了它能够解决“和定求积”或“积定求和”的相关问题．从而确立了它在求解最值问题中的重要地位，也就自然成为了高中阶段学生解决最值问题的重要工具．

我们通过上述两个例题分别来体会均值定理在求解最值问题中的作用．

四、利用线性规化求最值(数形结合求最值)

线性规划是高中数学的重要内容之一，它是“以形助数”即主要利用图形的直观性来解决问题．通过研究目标函数的几何意义，使目标函数具体化和明朗化，从而找到最优解(最值)．作为高中数学中运用“数形结合”思想解决问题的一个重要代表，当然线性规划也必然成为研究最值问题的一个重要工具．

通过对两例题的分析，我们可以看到最值问题的求解的思考方向大致有函数、三角函数、均值定理、线性规划这四个方向．而各个方向所必备的条件与解决问题的策略又有不同的特点．(1)函数方向必须具备这一特征:能通过消元，化归为一元函数．化归的函数为二次函数，我们可以通过二次函数的性质与图象特点求解;若不是二次函数可以借助导数来求解．(2)三角函数方向必须具备这一特征:条件有界，能构造出sin2α+cos2α=1的形式．具备这一特征的最值问题我们可以通过换元，将变量用sinα，cosα替换，转化为三角函数的形式．从而实现运用三角函数的有界性求解最值．(3)均值定理方向必须具备这两特征:(1)条件中各变量均为正数;(2)条件中各变量之间必须满足一个“定量”关系．具备这两个特征可以思考运用均值定理来求解．(4)线性规划方向必须具备这一特征: (1)约束条件确定(“定量”)，可作出可行域(几何图形); (2)目标函数(最值)，具有一定的几何意义．具备这两个特征可以思考运用线性规划思想来求解．

当然这只是笔者平时教学过程中解决最值问题的粗浅的思考方向与解决的策略，我们遇到具体问题时，还需要具体分析．只有真领悟数学的方法与思想，才能融会贯通，遇题不惊，应变有道．

［1］陈克胜．求函数最值的方法举例［J］．高等函授学报(自然科学版)．2006(2)．

［2］吴锷．透视函数最值解法解决常见最值问题［J］．中学课程辅导，2014(8)．

［3］张明明．论高中数学常见最值问题及解题策略［J］．课程教育研究(新教师教学)，2014(9)．

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