基于反双曲正弦函数的抗冲激块稀疏自适应滤波算法

魏丹丹，周 翊，师黎明，刘宏清

(信号与信息处理重庆市重点实验室(重庆邮电大学)，重庆 400065)

(*通信作者电子邮箱1257895378@qq.com)

基于反双曲正弦函数的抗冲激块稀疏自适应滤波算法

魏丹丹*，周 翊，师黎明，刘宏清

(信号与信息处理重庆市重点实验室(重庆邮电大学)，重庆 400065)

(*通信作者电子邮箱1257895378@qq.com)

针对现有基于最小均方误差(MSE)的块稀疏系统辨识算法抗冲激性能不佳的问题，提出了一种利用反双曲正弦函数替代最小均方误差的改进型块稀疏归一化最小均方(IBS-NLMS)算法。该算法首先构造新的代价函数，利用负梯度最陡下降法求出增量，进而导出了新的滤波器权系数更新公式，在公式迭代过程中出现的冲激噪声会导致权系数的更新量趋于零向量，从而消除了由于非高斯冲激干扰而导致的算法发散问题。同时，理论分析并推导出了该算法的均值收敛过程。块稀疏系统辨识的仿真结果表明，在非高斯冲激噪声干扰和截断变化情况下，改进型算法与块稀疏归一化最小均方(BS-NLMS)算法相比有更快的收敛速度和更小的稳态误差。

自适应滤波器；非高斯噪声；反双曲正弦函数；块稀疏系统；系统辨识

0 引言

自适应滤波算法广泛应用于系统辨识、网络回声消除等通信领域[1]。常用自适应算法有最小均方(Least Mean Square, LMS)算法、最小二乘(Recursive Least Square, RLS)法和仿射投影算法(Affine Projection Algorithm, APA)等。LMS算法由于其计算量小且易于实现而被广泛应用。在工程应用中,很多待辨识未知系统的冲激响应具有明显的稀疏特性，例如冲激响应往往长达数百的声学回声信道，只有很少的非零系数，是典型的单聚类稀疏信道[2]。块稀疏自适应算法利用稀疏先验知识提高算法收敛速度与稳态性能，插入相同分组长度的自适应抽头权重矢量的混合l(2.0)范数惩罚因子到代价函数中[3]，考虑到归一化，块稀疏归一化最小均方(Block Sparse-Normalization Least Mean Square, BS-NLMS)算法步长应除以输入矢量l2范数的平方与一个小的正常数之和。小的正常数是为了避免发生除零运算。但是BS-NLMS算法的推导是基于干扰噪声是高斯噪声的情况下，但是，在非高斯噪声情况下，该算法不具有抗冲激噪声干扰性能。

针对非高斯冲激噪声，文献[4-6]中算法的推导是基于最大相关熵函数准则，相关熵函数可视为局部相关性测量函数，因此，其比传统的基于全局相关性测量的自适应算法具有更好的抗冲激特性，但是固定步长的方案不能满足工程实践的需求。文献[7-8]分析了基于鲁棒统计思想的M评估(最大似然型)方法，该算法基于Huber损失函数在线估计阈值，此类算法计算复杂度高。在对抗冲激问题进行深入研究的基础上，本文提出了基于反双曲正弦的改进型块稀疏归一化最小均方(Improved Block Sparse-Normalization Least Mean Square, IBS-NLMS)算法。该算法代价函数在输出错误较小时具有l(2,0)范数特性，而在输出错误较大时由于代价函数导数趋于零矢量而停止了滤波器系数更新。

1 IBS-NLMS自适应滤波算法

本文基于如图1所示系统识别模型[9]进行分析，假设自适应未知系统s(n)=[s0(n),s1(n),…,sL-1(n)]T，滤波器的第n次迭代输入u(n)=[u(n),u(n-1),…,u(n-L+1)]T，抽头长度为L，滤波器的未知系统期望信号输出d(n)表示为d(n)=uT(n)s(n)+v(n)，加性噪声v(n)服从零均值、方差为σ2的高斯分布。第n次的估计误差迭代表示为e(n)=d(n)-xT(n)w(n)，自适应滤波器抽头系数w(n)是自适应滤波器第n次迭代对s的估计。

图1 系统辨识下自适应滤波器系统框图

1.1 BS-NLMS自适应滤波算法

‖w‖2,0‖[‖w[1]‖2‖w[2]‖2…‖w[N]‖2]T‖0

(1)

其中：w[i]=[w(i-1)P+1,w(i-1)P+1,…,wiP]T表示第i组的权系数向量w,N和P分别是滤波器阶数的分组数和每组长度。利用最陡下降法，可得自适应滤波器的更新公式为：

(2)

其中：g(w)[g1(w),g2(w),…,gL(w)]T,μ是用于调整误差和收敛速度的步长参数，ε是一个小的正常数，κ=μλ/2，α是一个正常数。

gj(w)

(3)

相比最小均方算法，式(2)中额外的l(2,0)范数约束改善了算法的稀疏特性。零范数约束条件下的未知系统参数解将更可能地趋于零向量，得到稀疏解，而2范数则可以解决输入信号自相关矩阵奇异造成的权系数不收敛问题。

1.2 基于非线性函数的IBS-NLMS算法

为了改善算法在非高斯噪声下的抗冲激性，代价函数可重新改写为：

J(w)=E[arsinh((α(e(n)/‖u(n)‖)2)/2α)]

(4)

其中：α>0用来控制代价函数梯度的系数；en/‖un‖表示均方误差；利用负梯度最陡下降法求w梯度，可得相应权系数更新公式如下：

w(n+1)=w(n)+

(5)

图2 小误差下的代价函数

2 性能分析

本章主要分析IBS-NLMS算法在n趋于无穷时的收敛性能，权系数向量w(n)将逼近维纳-霍夫方程解w0=R-1P。为简化分析，作出了如下的假设。

假设1 输入信号u(n)是一个零均值高斯分布，自相关矩阵为R=E[u(n)uT(n)]的遍历过程。

假设2 假设文中加性噪声v(n)为高斯白噪声vg(n)，利用文献[11]的变形高斯(Contaminated Gaussian, CG)噪声模型来估计冲激噪声，可建模为：

v(n)=vg(n)+vim(n)

(6)

(7)

假设3 输入信号u(n)，噪声v(n)和权系数向量w(n)统计独立。

定义向量c(n)为w0与w(n)之差c(n)=w0-w(n)，则算法可写为：

(8)

对式(8)两侧求期望，可得：

E[c(n+1)]=E[c(n)]-μH

(9)

E[·]表示对{v(n),c(n),u(n)}三者的期望值，其中E[·]记为E{v(n),c(n),u(n)}。

(12)

(13)

(14)

3 实验测试和结果分析

当冲激响应在第20 000次迭代时从w突变为-w，算法滤波器参数与未知系统抽头系数的平均偏差变化曲线如图5所示，测试算法包括IBS-NLMS和BS-NLMS，主要观测算法的收敛和跟踪性能，在冲激噪声下，BS-NLMS算法一开始就不收敛，而IBS-NLMS算法不仅收敛，而且在未知系统跳变后，算法很快跟上了系统的变化，主要是因为算法在这个时候的误差矢量的突然增大，算法的增加量趋于零向量，从而停止了算法的更新，可见，系统突变对本文所提出的IBS-NLMS算法未损失收敛速度和稳态误差性能。

图3 不同参数α值下的IBS-NLMS算法收敛及跟踪曲线

图4 不同概率冲激噪声下的算法NMSD学习曲线

图5 系统冲激响应在第20 000次迭代时从w变为-w

4 结语

本文针对块稀疏系统辨识问题，提出了基于自适应的IBS-NLMS算法，用arsinh函数误差来替代均方误差。该算法使滤波器抽头权重增量在误差增大时趋于零矢量，显著地提高了算法鲁棒性同时不会影响在冲激噪声下的稳态误差。除此之外还推导了均值收敛过程中步长参数的上下界。仿真实验结果证明，提出的改进型算法在非高斯噪声下相较于BS-NLMS算法具有更快的收敛速度和更低的稳态误差。本文算法虽然提高了鲁棒性，但是计算复杂度还是很高，不利于实际应用中的实现，因此，如何有效地降低算法复杂度将会是下一步研究工作。

)

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This work is partially supported by the National Natural Science Foundation of China (61501072), the Natural Science Foundation of Chongqing Science and Technology Commission (cstc2015jcyjA40027), the Natural Science Foundation of Chongqing University of Posts and Telecommunications (A2015-60).

WEI Dandan, born in 1991, M.S.candidate.Her research interests include speech signal processing, acoustic echo cancellation.

ZHOU Yi, born in 1974, Ph.D., professor.His research interests include speech signal processing.

SHI Liming, born in 1989, Ph.D.candidate.His research interests include digital signal processing, blind source separation.

LIU Hongqing, born in 1980, Ph.D., professor.His research interests include sparse signal processing.

Block-sparse adaptive filtering algorithm based on inverse hyperbolic sine function against impulsive interference

WEI Dandan*, ZHOU Yi, SHI Liming, LIU Hongqing

(ChongqingKeyLaboratoryofSignalandInformationProcessing(ChongqingUniversityofPostsandTelecommunications),Chongqing400065,China)

Since the existing block-sparse system identification algorithm based on Mean Square Error (MSE) shows poor performance under impulsive interference, an Improved Block Sparse-Normalization Least Mean Square (IBS-NLMS) algorithm was proposed by introducing the inverse hyperbolic sine cost function instead of MSE.A new cost function was constructed and the additive value was obtained by steepest-descent method.Furthermore, a new vector updating equation for filter coefficients was deduced.The adaptive update of the weight vector was close to zero in the presence of impulsive interference, which eliminated the estimation error of adaptive updating based on the wrong information.Meanwhile, mean convergence behavior was analyzed theoretically and then the simulation results demonstrate that in comparison with the Block Sparse-Normalization Least Mean Square (BS-NLMS) algorithm, the proposed algorithm has higher convergence rate and less steady-state error under non-Gaussion noise impulsive interference and abrupt change.

adaptive filter; non-Gaussion noise; inverse hyperbolic sine function; block sparse system; system identification

2016-08-12;

2016-09-12。 基金项目:国家自然科学基金资助项目(61501072)；重庆市科委自然科学基金资助项目(cstc2015jcyjA40027)；重庆邮电大学自然科学基金资助项目(A2015-60)。

魏丹丹(1991—)，女，贵州遵义人，硕士研究生，主要研究方向：语音信号处理、回声消除； 周翊(1974—)，男，四川成都人，教授，博士，主要研究方向：语音信号处理； 师黎明(1989—)，男，河南漯河人，博士研究生，主要研究方向：数字信号处理、盲源分离； 刘宏清(1980—)，男，黑龙江佳木斯人，教授，博士，主要研究方向：稀疏信号处理。

1001-9081(2017)01-0197-03

10.11772/j.issn.1001-9081.2017.01.0197

TN911.72

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